| English | 意味 |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | 位置 |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 変位 |
積分を通じた運動
- Unit 4 は 微分 によって位置→速度→加速度へと進みました。積分は逆方向に進みます。
- 加速度を積分して 速度を取り戻し、速度を積分して 位置を取り戻します。
- 各ステップでは、レートを加算してそれが変化する quantity を得ます。
- つまり、積分はレートから運動の物語を再構築します。
速度から位置を復元するには...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
位置 $=$ は初期 $+\int v\,dt$ 。
チェインを上る
- 加速度からの速度： $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$ 。
- 速度からの位置： $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$ 。
- 各步骤需要一个 initial value（隠れた積分定数）。
- レートを積分し、出発点に加算します。
速度から位置を復元するには、定数を固定するために ____ 値が必要である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
位置 $=$ 、初期位置 $+\int v\,dt$ 。
変位と距離
- $[a,b]$ における変位は、速度の符号付き定積分である：$\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — 位置の正味の変化量。
- 総距離 は速さ $|v|$ の積分です：$\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ —— 常に引き算はしません。
- 物体が反転した場合、変位と距離は異なります。
- 変位は実際の運動の後にゼロになることがありますが、距離はそうではありません（動かなかった場合を除く）。
速度曲線下の有向面積
y = t − 2（速度）
$v(t)$ における有向面積は変位であり、$v=0$ で分割した各部分の絶対値をとると距離になる。
$v(t)=t-2$ について $[0,3]$ に、変位 $\int_0^3 (t-2)\,dt$ を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
物体が実際に移動しても、変位はゼロになり得る。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
往復運動では正味の変位はゼロだが、距離は正の値となる。
曲がりの点で区切ることで距離を求める
- 全距離を得るには、$v=0$（曲がる点）を探し、$|v|$を部分ごとに積分します。
- 各区間$v$ において符号は一貫しているため、$|v|$ は単に$\pm v$ に等しくなります。
- 各部分の 絶対値 を持つ面積を加算します — 相殺は行いません。
- この「$v=0$ で区切る」ステップこそが、距離が$\neq$となる変位と異なる理由です。
$v(t)=t-2$ について $[0,3]$ に、総移動距離は $\int_0^3 |t-2|\,dt$ である。計算せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$t=2$ で分割：$2+\tfrac12=\tfrac52$ 。
$[a,b]$ における総移動距離は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
速さ $|v|$ を積分する；転回点で分割する必要がある。
変位 ($\int v\,dt$) は符号付きであり、移動した後もゼロになり得ます。全距離 ($\int|v|\,dt$) は決して負になりません。距離を求めるには、$v=0$ が符号を変える区間で区切り、絶対値 を加算してください — 単に $v$ を積分して最後に絶対値を取るだけではなりません。また、位置や速度を復元するには 初期値 が必要です。
ある粒子は $v(t)=t-2$ (m/s) で $[0,3]$ に動きます。変位と全距離を求めよ。
- 変位: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m。
- $v=0$ at $t=2$: $[0,2)$ では負、$(2,3]$ では正。
- 距離: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m。
積分は運動を再構築します：速度 $=$ 初期 $+\int a\,dt$、位置 $=$ 初期 $+\int v\,dt$。$[a,b]$ における 変位 は符号付き $\int_a^b v\,dt$ です；全距離 は $\int_a^b|v|\,dt$ です — 曲がる点 ($v=0$) で区切り、絶対値を加算します。