| English | 意味 |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数関数的増減 |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | 指数モデル |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数減衰 |
指数関数的成長の背後にある方程式
- いたるところで現れる微分方程式があります：$\dfrac{dy}{dt}=ky$ ——「変化率が量に比例する」。
- その解は有名な 指数モデル $y=y_0 e^{kt}$ です。
- 人口、放射性崩壊、複利、冷却——すべてこのパターンに従います。
- 一度これを解けば、現実世界における膨大なモデルの族を手に入れることができます。
$y=y_0 e^{kt}$ の導出
- 分離：$\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$ 。積分：$\ln|y|=kt+C$ 。
- 両辺を指数関数にする：$y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$ 。
- 初期量 $y(0)=y_0$ を適用する：$A=y_0$ 。
- 解： $y=y_0 e^{kt}$ —— 初期値に $e^{kt}$ を乗じたもの。
$\dfrac{dy}{dt}=ky$の$y(0)=y_0$に対する解は...
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分離して積分：$y=y_0 e^{kt}$。
$k>0$ のときの成長
- $k>0$の場合、$e^{kt}$は増加するため、$y$は指数関数的増大を示します。
- 量は常に倍増し、大きくなるほど速く成長します。
- $k$ は（連続）成長率です。$k$ が大きいほど成長は速くなります。
- 例：抑制されない人口、複利。
増減（k>0）対減衰（k<0）
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$は$k>0$の場合に上昇し、$k<0$の場合にゼロに収束する — $k$の符号が振る舞いを決める。
$y=y_0 e^{kt}$において、指数関数的増減が起こるのは...
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$k>0$が$e^{kt}$を増やす → 増減。
$P=500e^{0.3t}$について、$P(0)$（初期量）を求める。
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$P(0)=500 e^0=500$.
$k<0$ のとき減衰
- もし $k<0$ なら、$e^{kt}$ は減少するため、$y$ は 指数関数的減衰 を示します。
- 量は $0$ に近づきますが、完全にゼロになることはありません。
- 放射性崩壊と冷却の差は $k<0$ に従います。
- 絶対値 $|k|$ は減衰の速さを決定します（半減期と関連しています）。
指数関数的減衰は$k$が____（その符号）の場合に起こる。
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$k<0$が$e^{kt}$を$0$へと縮小させる。
モデル$y=y_0 e^{kt}$は、一定の率$\dfrac{dy}{dt}=c$を持つ状況に適用される。
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一定の率は直線を与えますが、指数関数モデルには率が量に比例する必要があります。
哪些 situations are modeled by $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
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最初の三つは量が比率に比例しますが、一定の流量の蛇口はそうではありません。
指数モデルは $\frac{dy}{dt}=ky$ （変化率が量に比例する）からのみ導かれます。一定速度の状況に $y=y_0 e^{kt}$ を適用しないでください（$\frac{dy}{dt}=c$ となり、直線を与えます）。また $k$ の符号が全てです：$k>0$ は成長し、$k<0$ は減衰します——誤った符号だと全体の挙動が逆転します。
$500$ の細菌コロニーが $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ （$t$ 時間単位）のように成長します。$P(t)$ と $P(4)$ を見つけてください。
- モデル：$P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$ 。
- $t=4$の時点で: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$個の細菌。
- $k=0.3>0$ なので、これは指数関数的成長です。
微分方程式 $\frac{dy}{dt}=ky$ は指数モデル $y=y_0 e^{kt}$ を与え、ここで$y_0$は初期量である。$k>0$ → 指数増加；$k<0$ → 指数減少。これはrateが現在の量に比例している場合にのみ適用される。