| English | 意味 |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | 分離可能 |
両側の$x$と$y$を見つける
- 微分方程式を実際に解く（単に描くだけでなく）には積分を行うが、まず変数を分離する必要がある。
- 微分方程式が一方に$y$のみ、他方に$x$のみが含まれるように書き換えられる場合、それは変数分離可能である。
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$は典型的な形である：$x$の部分と$y$の部分の積。
- それぞれの側面は独立して積分できる。
どの方程式が変数分離可能か？
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$xy$は ($x$-部分)$\times$($y$-部分)として因数分解できるが、和ではできない。
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$は変数分離不可能である。なぜなら、____を分割できないからである。
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変数分離には和ではなく積が必要である。
変数を分離する
- $\dfrac{dy}{dx}$を微分の比として扱い、各変数をそれぞれの側面に移す。
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$より：$h(y)$で割り、$dx$を掛けると：
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- これにより両辺はそれぞれ一変数とその微分のみを含むようになり、積分準備が整った。
$\dfrac{dy}{dx}=xy$を変数分離すると...
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$y$で割り、$dx$を掛けると：$\tfrac1y\,dy=x\,dx$。
両辺を積分する
- $y$の左辺と$x$の右辺を積分すると：$\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$。
- 一つの積分定数$+C$を加える（一方の定数だけで十分なので、両辺の定数は統合する）。
- もし可能であれば$y$について解いて、一般解を得る。
- この結果は、定数$C$を含む関数の族となる。
一般解は族である
$\tfrac{dy}{dx}=ay$を解くと$y=Ce^{ax}$が得られる — 定数ごとに一本の曲線があり、すべて同じ場に適合する。
$\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$を積分すると...
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$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$；$\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$；$+C$を加える。
$+C$ を保ち、$y$ を求める
- 積分定数がこれを族とするものなので、決して捨ててはいけない。
- 多くの場合、$y$を孤立させるために指数関数を用いたり式を変形したりするが、$C$は変換されつつも残る。
- $y$ をきれいに孤立させられない場合、答えを暗黙的な関係として残しても構わない。
- 後の初期条件（Lesson 7.7）によって$C$が決定される。
変数分離法で微分方程式を解く際は、定数$+C$を含めるべきである。
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$+C$は一般解（解の族）を与える。
$\dfrac{dy}{dx}=xy$の一般解は...
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$\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$の指数関数をとって$y=A e^{x^2/2}$を得る。
変数分離法は、方程式が(function of $x$) $\times$ (function of $y$) の因数分解形である場合にのみ有効である。$\frac{dy}{dx}=x+y$のような式は分離不可能であり、和を分割することはできない。また、積分後に**$+C$**を忘れないように — なければ一般の族ではなく、一本の曲線しか得られない。
$\dfrac{dy}{dx}=xy$を解く（一般解）。
- 変数を分離：$\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$。
- 積分：$\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$。
- 指数関数化：$y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$（$A=e^C$として表記）。一般解：$y=A\,e^{x^2/2}$。
変数分離法は分離可能な方程式$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$を解く方法である：式を変形して$\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$にし、両辺を積分（$+C$は一つ）、そして$y$について解いて一般解を得る。これは方程式が$x$の部分と$y$の部分的な积に分解できる場合にのみ機能する。