| English | 意味 |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | オイラー法 |
| step size/step saɪz/ | ステップサイズ |
解を一歩ずつ追跡する
- 全ての微分方程式が公式で解けるわけではないが、数値的に近似解を求めることは可能である。
- オイラー法は、始点から微小な直線のステップで傾き場に沿って進む。
- 各点で微分方程式を使って傾きを求め、それに沿って進行する。
- これを繰り返せば、近似解の曲線を追跡できる。
更新ルール
- $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$と初期値$(x_0,y_0)$が与えられたとき、固定されたステップ幅$h$を用います：
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- 新しい $y$ ＝ 古い $y$ ＋ （その点での傾き）×（ステップ $h$）。
- 「現在の値＋傾き×ステップ」ということだ — 接線によるジャンプである。
傾き場に沿ってステップ
オイラー法は傾き場に沿って短い直線ステップを取ります—小さいステップほど真の曲線に近づきます。
オイラーの更新式は $y_{n+1}=$ です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
旧 $y$ ＋ 傾き × ステップ。
各オイラーステップで使用される固定増分 $h$ は ____ size と呼ばれます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x$ は各反復でステップサイズ $h$ だけ進みます。
テーブルを進む
- 作業を表形式で整理します：各行で$(x_n,y_n)$を読み取り、傾き$f(x_n,y_n)$を計算し、次に$y_{n+1}$を得ます。
- 各行で $x$ を $h$ だけ進め、目標 $x$ に達するまで繰り返す。
- 各ステップは単なる計算であり、微分方程式が傾きを提供する。
- 数行後には、目標における近似 $y$ が得られる。
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ 、$y(0)=1$ 、$h=0.5$ に対して：$(0,1)$ での傾きは $1$ です。$y_1$ を見つけます。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$1+0.5(1)=1.5$.
$y_1=1.5$ で$x=0.5$ 、傾きが $=2$ の場合を続け、$y(1)\approx y_2$ を見つけます。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$1.5+0.5(2)=2.5$.
精度とステップサイズ
- オイラー法はあくまで近似であり、直線的な接線に沿うため真の曲線からずれる。
- 小さいステップサイズ $h$ はより正確な推定値を与える（ただしステップ数が増える）。
- 下に凸の曲線ではオイラー法は概ね過小評価し、上に凸では過大評価する。
- ステップ数を増やすことで誤差が減る — 典型的な精度とコストのトレードオフである。
より小さいステップサイズ $h$ を使うと、オイラーの推定値は一般に...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
小さいステップほど真の曲線からの逸れが少なくなります。
初期の傾きを再利用せず、各新しい点での傾きを再計算する必要があります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
傾き $f(x_n,y_n)$ は各ステップで変化します。
各ステップで固定された傾きではなく、現在の点$(x_n,y_n)$における傾きを使用します。そして各ステップで$x$（$h$分）と$y$（$h\cdot f$分）の両方を更新します。一般的なミスは、すべてのステップで初期の傾きを使い回すことです。傾きは新しい点ごとに再計算する必要があります。
$y(1)$ で $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$ の $h=0.5$ による近似
- ステップ1：$(0,1)$ での傾きは $0+1=1$ ；$y_1=1+0.5(1)=1.5$ 、$x_1=0.5$ 。
- ステップ2：$(0.5,1.5)$ での傾きは $0.5+1.5=2$ ；$y_2=1.5+0.5(2)=2.5$ 、$x_2=1$ 。
- よって $y(1)\approx 2.5$。
オイラー法は、接線に沿ってステップを踏むことで微分方程式の解を近似します。$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$で固定されたステップサイズ $h$を用い、各点で傾きを再計算します。これは近似であり（直線的なステップは曲線から逸れる）、より小さな$h$が精度を向上させます。