| English | 意味 |
|---|---|
| solution curve/səˈluːʃn kɜːv/ | 解曲線 |
| long-term behavior/lɒŋ tɜːm bɪˈheɪvjə/ | 長期挙動 |
矢印に従って曲線を描く
- 傾き場は接線方向のセットであり、解曲線はその間を縫うように進みます。
- 指定された点から始め、常に近くの破線に接するよう進みます。
- そのように追跡した曲線が、その点を通る特異解です。
- 公式は不要です。場から直接、解について推論できます。
A solution curve through the slope field must always stay...
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It follows the tangent directions.
点を通る解のスケッチ
- ペンを指定された点に当て、局所的な傾きに従い、破線の向きが変わるのに合わせて曲げます。
- 破線を不適切な角度で横切ってはならない — 常に破線に沿って進め。
- 異なる初期点から始まる曲線は、解の族の異なる要素となる。
- 破線は流れのように振る舞い、あなたの描く曲線はその流れに乗って漂う船に似ている。
Thread a curve through the field
A solution curve stays tangent to every dash it passes — drag the start point and watch it follow the field.
パターンに基づく長期的挙動
- 右側（大きな$x$または$t$）を見ながら、解の長期的挙動を読み取れ。
- 破線が水平線に向かって平坦になるか？その場合、解は値に近づく（平衡状態）。
- 破線が右上に一直に傾き続けるか？その場合、解は境界なく増大する。
- 場全体の形状は、解が最終的に到達する場所を予測する。
The overall pattern of a slope field forecasts the ____ behavior of solutions.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Read where the dashes send solutions as $x$ grows.
平衡点：安定か不安定か
- 破線の水平な列は平衡点であり、一定の解である。
- 周辺の解がそれへ向かって湾曲する場合、平衡点は安定である（引き寄せられる）。
- 周辺がそれから遠ざかって湾曲する場合、不安定である。
- 矢印が線に向かっているか远离しているかを確認することで、どちらかを判断できる。
Two different solution curves of the same equation can cross each other.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Each point has one slope, so solution curves never cross.
For $\dfrac{dy}{dt}=y$, the equilibrium $y=0$ is...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Above $0$ slopes push up, below they push down → away from $0$.
A horizontal row of dashes in a slope field represents a...
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Slope $0$ everywhere along it → a constant solution.
Select all true statements about equilibria.
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Equilibria can be at any $y$ where the rate is $0$; toward = stable, away = unstable.
解曲線は勾配場に対して常に接し続けなければならない — 破線に沿って進み、それを横切ってはならない。また、同じ方程式に対する異なる解曲線が交差することはない（各点にはただ一つの傾きがある）。もし描いた図に曲線が交わっているなら、誤りである。
$\dfrac{dy}{dt}=y$について、$(0,1)$と$(0,-1)$を通る解を説明せよ。
- 直線$y=0$は平衡点であり、そこでの傾きは$0$である。
- その上（$y>0$）では傾きが正であるため、$(0,1)$ を通る解は$0$ から離れて増加する。
- その下（$y<0$）では傾きが負であるため、$(0,-1)$ を通る解は$0$ から離れて減少する。
- よって$y=0$は不安定な平衡点であり、解はそこから逃げる。
勾配場を用いて推論するには、与えられた点を通る破線に接しながら解曲線を描く。場全体のパターンから長期的挙動が判明し、解は平衡点（安定）に近づくか、あるいは逃げる（不安定）ことがわかる。解曲線は決して交差しない。