| English | 意味 |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
変化そのものを記述する方程式
- 多くの自然法則は、 quantityそのものではなく、それがどれだけ速く変化するかを記述する。
- 微分方程式は、関数とそれらの導関数を関連づける。
- 「人口はサイズに比例した速度で増加する」は $\dfrac{dP}{dt}=kP$ となる。
- 解くことで関数が復元され、この単元ではそのような方程式の作成と解法の習得が目的である。
速度方程式の傾き場
方程式 $\tfrac{dy}{dt}=ky$ は、率が $y$ に比例することを示しており、その傾き場はモデル化する成長を示している。
微分方程式は関数をその…と関連づける。
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関数とその導関数を含む。
言葉を速度方程式に翻訳する
- 「 $y$ の変化率」という表現は $\dfrac{dy}{dt}$ —— これがあなたの方程式の左辺になる。
- 「$y$ に比例する」→ $ky$；「$M$ からの差に比例する」→ $k(M-y)$。
- 速度の英語での説明を、 $y$ （および $t$ ）の式に合わせる。
- 全体としてモデル化すると：（変化率）=（その式）。
"$y$ の変化率は $y$ に比例する" は…になる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
変化率 $\frac{dy}{dt}$ = $k$ × $y$ 。
水量$W$ に比例する速度で水が排水される。モデルは…である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
排水は減少を意味するため → 負の速度: $-kW$ 。
一般的なモデル化のフレーズ
- 量に比例する： $\dfrac{dy}{dt}=ky$ —— 指数関数的増減。
- 現在の量 かつ 残りの量に比例する： $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ —— ロジスティック型。
- 一定の速度： $\dfrac{dy}{dt}=c$ 。
- フレーズを読むことで右辺がわかる。
各フレーズを速度表現と一致させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
フレーズを読み取って右辺を構築する。
微分方程式は解の家族を持つ
- 代数方程式（未知の数字が一つ）とは異なり、微分方程式は未知の関数を含む。
- その解は通常、定数を含む家族の関数であり、単一の答えではない。
- 特定のメンバーは後から初期条件によって特定される（レッスン7.7参照）。
- 当面の目標は、状況から単に方程式を作成することだ。
$y=kt$ （導関数なし）は微分方程式ではない。
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微分方程式は導関数を含んでいる必要がある。
微分方程式の解は通常、単一の関数ではなく、関数の____である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
初期条件が固定するまで定数は残る。
微分方程式は導関数を含む——それはquantityそのものではなく、速度についての声明である。「 $y$ は $t$ に比例する」（ $y=kt$ ）は微分方程式ではない；「 $y$ の変化率は $y$ に比例する」（ $\frac{dy}{dt}=ky$ ）は。「変化率」という言語を探すこと。
"タンクの水が、タンク内の水量 $W$ に比例した速度で排出される。」モデルを作成せよ。
- $W$ の変化率： $\dfrac{dW}{dt}$ 。
- $W$ に比例し、排出される（減少する）→ $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ （ $k>0$ を含む）。
- 負符号は水量が減少していることを表している。
微分方程式とは、ある関数とその導関数との関係を示す式であり、変化率をモデル化します。単語を翻訳する：「$y$の変化率」は$\frac{dy}{dt}$、「$y$に比例する」は$ky$、となります。その解は定数を含む族（family）として表され、初期条件によって具体的に決まります。