| English | 意味 |
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| antidifferentiation/ˌæntɪˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 原関数を求める |
どの原函数ツールが適しているか？
- 積分する方法は複数あるが、技能は正しい手法を素早く選ぶことにある。
- 積分（原函数） に単一のアルゴリズムはないため、被積分関数の構造を読み取る必要がある。
- 簡易的な分類により、基本則、置換法、あるいは代数的変形の一つが示される。
- このレッスンは、積分方法を結びつける意思決定ガイドである。
被積分関数を読み取り、手法を選ぶ
y = ax³ + bx
被積分関数が単純な冪、合成関数、あるいは不適分数かどうかによって、使用する不定積分の道具が決まる。
まず、基本則がそのまま適用できるか？
- 被積分関数は累乗関数か、または標準形式（ $\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$ ）の一つか？
- そうであれば、基本則を適用し、 $+C$ を加える — 任何の工夫は不要。
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ は項ごとの基本原函数である。
- いつもこれ尝试 first；これは最も早い道筋である。
$\int (3x^2+e^x)\,dx$ に対する最速の手法は何か？
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両項とも標準的な不定積分であるため → 基本法則。
次に、内部関数とその導関数が存在するか？
- 合成関数と内部導関数が含まれているのが見つかれば → u置換法。
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$ ：内部 $u=x^2$ 、そして $2x\,dx=du$ がすぐそこにある。
- $du$ が定数の違いによってずれている場合は調整し、内側の導関数が本当に存在しない場合は u 置換では解決できない。
- これは連鎖律型の積分の大部分を扱う。
どの積分がu置換で最も適切か？
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内側の導関数を含む合成関数（$u=x^2+1$, $du=2x\,dx$）→ u置換。
正しい手法のシグナルをすべて選択せよ。
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u置換は万能ではない — 構造に合わせて手法を選択せよ。
否则：まず代数的変形を行う
- 基本則もCleanな置換もない場合？ 変形して被積分関数を直す。
- improper有理分数 → 長除法；不可約二次分母 → 平方完成。
- 積を展開し、分数を別々の項に分割するか、単純化してから再分類を行う。
- 変形後、基本則やu置換で通常は完了する。
$\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ の最初のステップは…である。
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分子の次数 ≥ 分母の次数 → まず割る。
任意の不定積分は、それを微分して被積分関数に戻すことで検証できる。
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答えを微分すると $f$ が戻るはずである。
試すべき技法を最初から最後までの順序で並べ替える。
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基本法則、次にu置換、最後に変形。
難しい技法に手を出す前に、簡単なものを確認せよ。まずは基本公式を試し、次に u置換 を行い、最後に代数的変形を行う。そして、すべての原関数が被積分関数になるように微分して検証せよ。これにより多くのミスを即座に発見できる。
それぞれの方法を選び、最初のステップを記録せよ：
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$ ：基本則 → $x^3+e^x+C$ 。
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$ ：u置換（ $u=x^2+1$ , $du=2x\,dx$ ）。
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ ：まず長除法（improper分数）。
積分手法の選択：まず基本則を試す；被積分関数が内部導関数を含む合成関数であればu置換法を使用する；それ以外は代数的変形（長除法 / 平方完成 / 展開）を行い、再分類する。常に答えを微分して確認すること。