| English | 意味 |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | 反常積分 |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | 無限極限 |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | 有界でない被積分関数 |
無限（または非有界）での積分
- 通常の定積分は有限の範囲と有限の被積分関数を持つ。反則積分はこのいずれかの条件を満たさない。
- 不収束の2つの原因：積分の無限限（例 $\int_1^\infty$）や、区間内の有界でない被積分関数（垂直な漸近線）。
- 単に「$\infty$を代入」したり発散点で評価したりすることはできないため、極限を用いる。
- その極限が有限の値であれば積分は収束し、そうでなければ発散する。
積分が反常となるのは...
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無限の上限または有界でない被積分関数 → 反常。
反常積分を評価するには、$\infty$ を原関数に直接代入できます。
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代わりに極限を取る必要があります。
無限限 → 極限へ
- 無限限を変数に置き換え、積分を実行した後、それを無限大まで取り上げる。
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- 通常の積分を $b$ まで計算し、次に $b\to\infty$ への極限を取る。
- 極限が有限であれば、不収束積分はそれに対して収束する。
1/x² 下の無限の尾
y = 1/x²
$1/x^2$ の $1$ から $\infty$ までの面積は有限（$=1$ ）であり、領域が終わりません—even 収束する反常積分です。
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ は以下のように定義されます...
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これは正の積分の極限です。
有界でない被積分関数 → 問題点での極限
- $f$ が端点 $c$ で発散する場合、その点で評価する代わりに極限によって接近する。
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ （および同様に他方からも）。
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ は $0$ で不収束である — $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$ を取る。
- 同じ原理：極限によって特異点に近づいていく。
$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$を評価します。
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$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
収束か発散か
- 収束： 極限が有限の値である — その値が結果となる。
- 発散： 極限が無限大または存在しない — 積分に有限の値がない。
- 有名な対：$\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ は発散するが、$\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ は収束する（$1$ に）。
- 見た目は同じ被積分関数でも運命が正反対であるという違いこそが、この話題の核心である。
$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$ はどうなりますか？
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$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → 発散。
定義される極限が有限な数である場合、反常積分は ____ します。
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有限の極限 → 収束。
反則積分を通常の積分のように扱うことはできません。$\infty$や発散点にそのまま代入することは意味がありません。常に極限として書き換えてその極限を評価してください。また、内部の奇異点にも注意してください：被積分関数が$[a,b]$の内側で発散する場合、その点で積分を分割し、各部分 separately に処理します。
$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$を評価します。
- 変形： $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$ 。
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- 極限が有限なので、積分は $1$ に対して収束する。
反則積分は無限の限界または有界でない被積分関数を持ちます。通常の積分の極限として書き換えます：$\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$（または奇異点への極限）。極限が有限なら収束し、そうでなければ発散します。