| English | 意味 |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分数 |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | 一次因子 |
一つの難しい分数を易しいものに分ける
- 直接積分できない有理関数もあるが、分解すれば簡単な対数になる。
- 部分分数分解とは、一つの分数を和としての小さな分数に書き換えること。
- 各成分の分母には単一の一次因数が含まれており、$\ln$ として簡単に積分できる。
- これは通分して足し算する操作の逆である。
分解の設定を行う
- 分母が互いに素な一次因数に因数分解される有理関数から始める。
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ の定数 $A,B$ を求める。
- 各互いに素な一次因数$(x-r)$ には、独自の項$\dfrac{\text{constant}}{x-r}$ が対応する。
- （分子の次数が分母の次数より低い必要がある——そうでなければ最初に割り算を行う。）
分解すべき有理関数
y = a / (x − b)
$(x-1)(x+2)$ に対する分数には2つの垂直漸近線があり、部分分数分解で2つの簡単な $\ln$ に分割されます。
$\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ の部分分数形は...
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各異なる一次因子ごとに定数1つ。
分子の次数が分母の次数より小さくない場合、まず割り算を行う必要があります。
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部分分数分解には真分数が必要です。
このレッスンは、分母が異なる ____ 因数に因数分解される場合に扱います。
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異なる一次因数 $(x-r)$ 。
定数を求める
- 両辺に共通分母をかけて分数を取り除く。
- それから係数を比較するまたは根を代入する（高速な近道）ことで$A,B$ を見つける。
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ について：$x=1$ における値は$1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$ ；$x=-2$ における値は$1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$ 。
- これで積分は simple な成分の和となる。
$\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ に対して、$A$ を求めます（$x=1$ を代入）。
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$x=1$において：$1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$。
成分を積分する
- 各$\dfrac{A}{x-r}$ は$A\ln|x-r|$ に積分される。
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- よって、複雑な有理関数の積分は対数の組み合わせとなる。
- 対数をまとめたり、解答の好みに従ってそのまま残したりする。
各部分分数項 $\dfrac{A}{x-r}$ の積分は...
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$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ （$A=1$ 、$B=-1$ を含む）は...です。
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$\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$ を積分する。
部分分数分解には、分子の次数が分母の次数より低い必要がある——そうでなければ最初に割り算を行う。また、分母が実際に一次因数に因数分解できることが必要であり、重複因数$(x-r)^2$ や不可約二次式には追加の項が必要（本レッスンの「互いに素な一次因数」の場合を除く）。各互いに素な因数にはちょうど1つの定数が対応する。
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$を評価します。
- 分解：$\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$ 。$x=1$ における値は$5=5A\Rightarrow A=1$ ；$x=-4$ における値は$5=-5B\Rightarrow B=-1$ 。
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
部分分数分解は互いに素な一次因数を持つ有理関数を和$\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$ に分解し、定数を見つける（係数比較または根の代入）、その後各成分を$\ln$ に積分する。分子の次数が$<$ より小さい必要がある——そうでなければ最初に割り算を行う。