| English | 意味 |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 平方完成 |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | 多項式の長除法 |
まず書き換えてから積分
- いくつかの有理関数は、書き換えるまでは基本の原関数に一致しません。
- 頑固な被積分関数を準備するための2つの代数学的ツール：長除法と平方完成があります。
- これらは calculus ではなく、どちらも分数を親しい形に再整形するだけです。
- その後、基本の法則や既知の積分で作業を完了します。
"top-heavy"分数のための長除法
- 分子の次数が $\ge$ 分母の次数の場合、分数は不適分数です。
- 多項式の長除法を使用して、多項式と適分数の剰余の和に分割します。
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ —今では各部分は簡単に積分できます。
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
変形すべき有理曲線
y = a / (x − b)
$\tfrac{x^2}{x+1}$のような不適分数は、直線＋小さな余剰項に分解でき、各部分は容易に積分できる。
分子の次数が…の場合、多項式の長除法を使用する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
不適分数（分子が大きい分数）では、除法が必要である。
長除法により $\dfrac{x^2}{x+1}=$ が得られる
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x^2=(x+1)(x-1)+1$ であるため、商は $x-1$ 、余りは $1$ である。
反三角関数形のための平方完成
- $x^2+4x+5$ のような分母は完全平方を隠しています：平方完成して $(x+2)^2+1$ にします。
- $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ の形は逆正接関数の原函数に一致します。
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- 平方完成により、ごちゃごちゃした二次式分母を、すっきりとした $u^2+a^2$ パターンに変換できる。
平方完成により、$x^2+4x+5=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$(x+2)^2=x^2+4x+4$ 、したがって $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$ 。
形式 $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ の積分は ____ 関数となる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
シグナルを認識する
- 分子の次数 $\ge$ 分母の次数 → まず多項式長除法を試す。
- 実根を持たない不可約二次分母 → 平方完成を行い、逆正接関数の形を目指す。
- これらは準備のための操作であり、実際の積分はその後、基本則またはu置換によって行われる。
- どの変形を使うべきかを見抜くことが成功の半分である。
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
まず割り引き、次に $x-1+\tfrac1{x+1}$ を積分する。
信号を変形と一致させ、正しい組み合わせをすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
長除法は不適分数专用であり、両者は前処理の変形である。
真分数でない場合のみ長除法を行う（分子の次数が$\ge$以上で分母の次数より大きいとき）——真分数に長除法を行っても意味がない。そして、平方完成後には定数を正しく保つこと：$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$ であり、$(x+2)^2+5$ ではない。誤った定数では arctan による対応が破綻する。
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$ を積分する。
- 長除法： $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ 。
- 項ごとに積分： $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$ 。
- （各変形された部分は基本の原函数則を用いる。）
有理関数の被積分関数が基本則に当てはまらない場合、まず変形する： improper分数には多項式長除法（分子の次数 $\ge$ 分母の次数）を、不可約二次分母には平方完成を行い、逆正接関数の形にする。そして基本の原函数で積分を完了させる。