| English | 意味 |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 置換法 |
連鎖法の逆演算
- 連鎖法は合成関数の導関数を生み出しました。積分はその逆を行う必要があります。
- u置換（または u-sub）は連鎖法の逆です。
- 合成関数とその内側の導関数を見つけて、名前を変えて簡略化します。
- これをマスターすれば、 otherwise-impossible integrals の巨大なクラスが日常的なものになります。
u-置換は、どの微分法の逆操作ですか？
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これは合成関数の微分（チェーンルール）を逆に行う。
内側関数を $u$ と名付け替える
- 内側関数 $g(x)$ を探し、その導関数 $g'(x)$ も被積分関数に含まれているか（定数倍まで）確認します。
- $u=g(x)$ とおきます；then $du=g'(x)\,dx$ 。
- 整個积分を $u$ で書き換え—複雑な $x$ -expression は単純な $u$ -integral に変わります。
- $u$ で積分し、最後に $u=g(x)$ に戻す（Substitute back） します。
u-置換に適した合成関数
y = ax³ + bx
$2x(x^2+1)^3$ のような被積分関数には、内側の関数とその導関数が隠れており—これが置換の合図となります。
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$に対して、適切な選択肢は $u=$である。
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$u=x^2+1$には $du=2x\,dx$が含まれており、それは存在する。
パターンの明確な例
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$ 。内側関数 $u=x^2+1$ なので、 $du=2x\,dx$ 。
- 積分内の $2x\,dx$ はちょうど $du$ —完璧な一致です。
- 積分は $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$ になります。
- 戻す： $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ 。
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$は…である。
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$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$を計算し、その後逆代入を行う。
定数、または境界来处理
- $du$ が定数倍だけ異なる場合、単に掛け算/割り算して修正します（例： $x\,dx=\tfrac12\,du$ ）。
- examples integral において、評価する前に $x$ に戻すか、境界を $u$ -values に変更するかです。
- 境界を変更するのがきれい： $a,b$ を $u(a),u(b)$ に変換し、 NEVER return to $x$ 。
- 常に 不定积分 の答えは元の変数 $x$ で終わらせます。
$\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$を評価する（$u=x^3+1$とする）。小数で入力せよ。
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$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
正しいu置換により、$dx$が完全に $du$に変換され、残りの$x$はなくなる。
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$x$または$dx$が残っていることは、古典的な間違いである。
被積分関数に内関数の…が含まれている場合、u置換は有効である。
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内側の導関数 $g'(x)$ が含まれていなければならない（定数倍であってもよい）。
u置換は内側の導関数が存在する場合のみ機能します（定数倍まで）。 $g'(x)$ が見当たらない場合、勝手に作れるわけではありません。そして $dx$ を $du$ に変換することを忘れないでください— stray $dx$ や leftover $x$ を残すことは典型的なエラーです。examples integral においては、境界を変更するか、Back-substitute のどちらか一方で行い、混用しないでください。
$\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$を評価します。
- $u=x^3+1$ とおきます、so $du=3x^2\,dx$ 。境界： $x=0\Rightarrow u=1$ , $x=1\Rightarrow u=2$ 。
- 積分は $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$ になります。
u置換は連鎖法の逆です： $u=g(x)$ （内側関数）を設定し、 $g'(x)\,dx$ を $du$ に置き換え、 $u$ で積分し、最後に 戻す（Substitute back） します（examples integral の場合は境界を変更します）。内側の導関数が定数倍で含まれている場合に機能します。常に $dx\to du$ を完全に変換してください。