| English | 意味 |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | 線形性 |
積分を簡単にするための規則
- 定積分には整然とした代数法則が成立し、同様に親しい性質を持つ限界値や微分のように振る舞います。
- これらの性質により、面積を再計算することなく、積分を分割・結合・並べ替えることができます。
- 多くは「積分＝符号付き面積」から直接導かれます。
- ここに示すいくつかの法則を習得すれば、見かけの複雑な積分も一歩で簡略化されることがあります。
$\int fg\,dx$ equals $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
There is no product rule for integrals.
線形性：和の分割と定数の取り出し
- 定数倍： $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$。
- 和/差： $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$。
- これらを合わせると線形性となり、項ごとに積分し、係数を前に出せます。
- 微分と同様、組み合わせを1つずつ処理できます。
Given $\int_0^4 f\,dx=10$ and $\int_0^4 g\,dx=3$, find $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$2(10)-3=17$.
幅ゼロと限界値の入れ替え
- 幅ゼロ： $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — 区間がなく、面積もありません。
- 限界値の入れ替え： $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — 方向を逆転させると符号が反転します。
- つまり、限界値の順序に符号が含まれます。
- これら2つの法則は、限界値が移動する際の計算Consistencyを保ちます。
What is $\int_5^5 f(x)\,dx$ for any $f$?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Zero width interval → $0$.
If $\int_1^4 f\,dx=7$, then $\int_4^1 f\,dx=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Swapping limits negates: $-7$.
Select all valid definite-integral properties.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The first three hold; the product "rule" is false.
区間の分割
- 隣接する区間： $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$。
- 任意の内点$b$において1つの積分を複数の部分に分解して足し合わせることは可能です。
- これは区分的な被積分関数や与えられた部分面積を使うために不可欠です。
- この逆も成り立ちます：隣接する2つの積分を1つに統合できます。
Split the area at an interior point
y = x²
The area from $a$ to $c$ equals the area from $a$ to $b$ plus $b$ to $c$ — integrals split over adjacent intervals.
If $\int_0^2 f\,dx=5$ and $\int_2^6 f\,dx=8$, find $\int_0^6 f\,dx$.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Adjacent intervals add: $5+8=13$.
積分には積の法則は存在しません：$\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$。線形性は和と定数倍に対してのみ展開され、積や商に対しては適用できません。また、限界値を入れ替えると符号が反転することを忘れないでください—非常に見落としやすいポイントです。
$\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ と $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$ が与えられたとき、$\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$ を求めよ。
- 線形性：$\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$。
- $=2(10)-3=17$.
- $f$ や $g$ そのものの値を知る必要はありません—性質がそれを解決してくれます。
定積分の性質：線形性（$\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$）、幅ゼロ（$\int_a^a f=0$）、限界値の入れ替えで符号が反転（$\int_b^a f=-\int_a^b f$）、および分割（$\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$）。積分には積の法則はありません。