| English | 意味 |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | リーマン和 |
| left/left/ | 左端点 |
| right/raɪt/ | 右端点 |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 中点 |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | 台形 |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | 台形則 |
Estimate a curvy area with rectangles
- The area under a curve is rarely a neat rectangle — so approximate it with many thin rectangles.
- Slice the interval into strips, build a rectangle on each, and add up their areas.
- This sum of rectangle areas is a Riemann sum 黎曼和.
- More, thinner rectangles → a better estimate of the true area.
私たちが近似する面積
y = x²
長方形や台形が曲線の下の陰影部分を埋める — より多く、より細い帯ほど推定は良くなる。
より多く、より細い長方形を用いることは一般的にリーマン和の推定を改善する。
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細い帯は曲線に沿ってより密着する。
Left, right, and midpoint rectangles
- Each rectangle's height comes from the function — but where in the strip do you measure it?
- Left 左端 sum: height from the left edge of each strip.
- Right 右端 sum: height from the right edge.
- Midpoint 中点 sum: height from the middle — usually the most accurate of the three.
$f(x)=x^2$を$[0,2]$に対して$2$個の右端長方形（幅$1$）を用いて近似する場合：高さ$f(1)=1$, $f(2)=4$。右端リーマン和を求めよ。
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$1\cdot1+4\cdot1=5$.
同じ設定だが、左端 リーマン和：高さ $f(0)=0$ 、$f(1)=1$ 。それを見つけよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
リーマン和において長方形の高さを選ぶ標準的な方法はどれか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
左辺、右辺、中点は標準的な選択肢である。
Trapezoids fit even better
- Instead of a flat-topped rectangle, connect the two edge heights with a slanted top: a trapezoid 梯形.
- The trapezoidal rule 梯形法则 averages the left and right heights on each strip.
- It hugs a smooth curve more closely than rectangles, so it's usually more accurate.
- Area of each trapezoid $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
____ 法は、長方形よりも近い適合のために辺の高さの平均（傾斜した上辺）を用いる。
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各台形は左と右の高さを平均する。
Over- or underestimate?
- On an increasing function: left sums underestimate, right sums overestimate.
- On a decreasing function: it's the reverse — left over, right under.
- The trapezoidal rule's error depends on concavity (over on concave-up, under on concave-down).
- Knowing the direction of the error lets you bound the true area.
増加関数に対して、左端リーマン和は…を与える
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増加曲線において、左端の高さは小さい方の辺である → 過小評価。
The three rectangle rules can give quite different answers for a small number of strips — they are approximations, not the exact area. And whether a left or right sum over- or under-estimates depends on whether the function is increasing or decreasing, not on the rule alone. Always check the function's behavior.
Estimate the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$).
- Right heights: $f(1)=1$ and $f(2)=4$.
- Right sum $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (The true area is $\tfrac83\approx2.67$; since $x^2$ is increasing, the right sum overestimates — as expected.)
A Riemann sum approximates area with rectangles: left, right, or midpoint heights. The trapezoidal rule uses slanted tops (averaging edge heights) for a closer fit. For an increasing function, left sums underestimate and right sums overestimate; more strips → a better approximation.