| English | 意味 |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | 純増減 |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | 蓄積 |
| area/ˈeərɪə/ | 面積 |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | 有符号面積 |
変化を足し合わせて総量を得る
- 導関数は事物を速度という単位に分解しました。積分はそれらを総量として再統合します。
- 何かが変化する速度を知っていれば、蓄積される正味の変化を求められます。
- 既知の速度で走行する → 総距離は時間をかけられた速度の蓄積です。
- この「速度を足し合わせる」ことは、微積分のもう一つの大きな概念：蓄積です。
積分（蓄積）は本質的に…の逆である
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
率を蓄積することは、総量を微分することを逆行する。
ある区間における率からの蓄積された総変化は、____ 変化と呼ばれる。
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正味の変化 ＝ 符号付き蓄積。
速度グラフ下の面積＝蓄積された量
- 時間に対する変化率をプロットします。そのグラフ下の面積が総変化量です。
- 一定の速度 $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ で $2$ 時間 → 長方形の面積は $=60\times2=120$ km。
- 変化する速度は曲線的な領域を作りますが、考え方は同じです：面積＝蓄積された量。
- 高さは速度、幅は区間、面積は総量です。
率の下の面積は総量である
y = 3 （一定の率）
率曲線の下の陰影部分は蓄積された量である — 区間を広げると総量は増大する。
蛇口が $3$ L/min で $4$ 分間流れる。率グラフの下の面積（蓄積された体積）は…である
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長方形の面積 $=3\times4=12$ L。
率が $0$ から $6$ まで $4$ 分間にわたり直線的に上昇する（三角形）。蓄積された量（面積）は…である
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
三角形の面積 $=\tfrac12\times4\times6=12$ 。
有向面積：速度は負になることがあります
- 速度が正の場合、量は増加します（面積は正としてカウントされます）。
- 速度が負の場合（軸の下）、量は減少します（面積は負としてカウントされます）。
- 正味の変化は有向面積です：正の部分から負の部分を引きます。
- つまり、物体が後方へ移動すると、蓄積された変位から差し引かれます。
率グラフが軸より下に落ちる箇所では、その面積は正味の変化から差し引かれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
軸より下の面積は負である（符号付き面積）。
速度-時間グラフにおいて、軸より下の部分とは物体が… means
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負の速度 ＝ 後方への運動 ＝ 負の符号付き面積。
速度から量へ戻る
- $f$ が速度であり、$a$ から $b$ まで蓄積する場合、元の量の正味の変化が得られます。
- これは微分の逆操作であり、速度を取り消して総量を復元することです。
- この有向面積を正確に計算するツールが定積分です（次章で紹介）。
- 現時点では：速度グラフ下の面積＝蓄積された量。
蓄積された変化は単なる「面積」ではなく有向面積です。軸を下回った速度グラフは物体が後方へ動いたことを意味し、正味の変位から差し引かれます。すべての面積を正として足さないでください — 軸下の領域は負としてカウントされます。
蛇口が $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ の速度で $4$ 分タンクを満たし、その後 $0$ で満たします。
- 速度グラフは長方形です：高さ $3$ 、幅 $4$ 。
- 蓄積された体積＝面積 $=3\times4=12$ L。
- 後に速度が負になった場合（排水）、その面積は総量から差し引かれます。
蓄積は速度を総量に戻します：$[a,b]$ における変化率グラフ下の有向面積が、その量の正味の変化です。正の速度 → 面積が加算；負の速度 → 面積が減算。定積分がこれを正確に表します。