| English | 意味 |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | 最適化 |
| variable/ˈveərɪəbl/ | 変数 |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | 目的関数 |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | 制約条件 |
最大または最小にする
- 現実の問題では、「どのような寸法が 最大の 面積を与えるか？」「最も安い 費用は何か？」「最短の 時間は？」と問われる。
- これらは 最適化問題であり、ある量の最大値または最小値を求める問題である。
- 微分学はこれらを解くことができる。なぜなら、極値は導関数がゼロになる地点にあるからである。
- このImplementedededonは 設定 についてであり、次は計算を行う。
変数名を付け、目的関数を記述する
- 制御可能な量（長さ、半径、価格など）に対して 変数 を選ぶ。
- 最大化または最小化したいものをその変数の関数として記述する——これが 目的関数 である。
- 例：固定された周長を持つ長方形について、片辺の長さで 面積 を表す。
- 図を描いてラベルを付ける——多くの設定ミスは未ラベルの図に起因する。
「周長を固定して面積を最大化する」場合、面積は…
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目的（面積）を最適化します；周長が拘束条件です。
制約条件を使って変数を一つにする
- 通常、目的関数は 二つ の変数から始まる（例えば、長さと幅）。
- 制約条件 式がそれらをつなぐ（固定された周長、固定された体積、予算など）。
- 制約条件式をある変数について解き、代入 して、目的関数が 単一 の変数のみになるようにする。
- これで通常の「極値を探す」問題になった。
面積は下向きの放物線として
y = ax² + bx
拘束条件を用いた後、面積は $A=10x-x^2$ となり — 単一の頂点を持つ下向き放物線として求める。
拘束方程式は…に用いられる
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拘束条件で1つの変数を解き、代入する。
設定の目的は、目的関数を ____ 変数の式で書くことである。
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1つの変数 ⇒ 通常の極値問題。
最適化設定の手順を並べ替える。
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変数、目的関数、拘束条件、代入。
設定の worked example
- 「农夫が $40$ m の柵を持って、壁沿いに長方形の囲いを作る（壁側には柵なし）。"
- 制約条件：使用される柵 $=2x+y=40$ なので、$y=40-2x$ 。
- 目的：面積 $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$ 、これは now $x$ のみの関数。
- $A(x)$ を最大化する準備完了——これがImplementedededon 5.11。
$2x+y=40$（片側が壁）の場合、面積 $A=xy$ は…となる
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$y=40-2x$ 、したがって $A=x(40-2x)=40x-2x^2$ 。
変数の定義域（例：$0<x<10$）に留意することは、正しい最適化設定の一部である。
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有効な答えが存在しうる定義域の境界。
目的 （最適化したいもの）と 制約条件 （固定された関係）を分けておく。目的を最大化または最小化し、制約条件は変数を消去するためにのみ使う。また、変数の 定義域 （例：$x>0$ と $y>0$ ）も確認する——有効な答えが取りうる範囲を限定する。
設定：周長 $20$ の長方形の面積を最大化する。
- 辺を $x$ と $y$ とする。制約条件：$2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$ 。
- 目的：$A=xy=x(10-x)=10x-x^2$ 。
- 定義域：$0<x<10$ 。問題は now「$A(x)=10x-x^2$ を最大化せよ」となった。
最適化問題 は最大値または最小値を見つけることである。 変数 を名付け、 目的関数 を記述し、 制約条件 式を使って 単一 の変数に減らすことで設定する。定義域を確認する。そうすれば標準的な極値問題となる（次のImplementedededon）。