| English | 意味 |
|---|---|
| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | 1階導関数の符号 |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | 符号表 |
$f'$ の符号が物語るもの
- 曲線が上昇するか下降するかは、一階導関数の符号で表されます。
- $f'(x)>0$ が区間で正のとき → $f$ はそこで 増加しています（上り坂）。
- $f'(x)<0$ が負のとき → $f$ は 減少しています（下り坂）。
- したがって、$f$ が正負転換する場所を追跡すれば、$f'$ が上昇・下降する範囲がわかる。
f′ > 0 の場所では上昇
y = ax³ + cx
曲線は傾きが正のところで上昇し、負のところで下降する — $f'$ の符号が各区間の挙動を示す。
関数は区間で増加しているとき、ちょうど以下の場合に...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
正の第一導関数は増加を意味します。
符号図を作成する
- まず、臨界点（$f'=0$ がゼロになる点または存在しない点）を求めてください。これらが数直線を分割します。
- 符号図を描く：臨界点を印し、その間に開区間を作る。
- 各開区間から検定点を選び、その点での $f'$ の符号を確認する。
- 各区間ごとに1つの符号があれば十分です。$f'$ が臨界点を通り越さずに符号を変えることはありません。
$f'(x)=3(x-1)(x+1)$ について、中央の区間をテストするために $f'(0)$ を評価せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$3(-1)(1)=-3<0$ なので、$f$ は $(-1,1)$ で減少している。
臨界点は実数直線を区間に分け、$f'$ の ____ チートを作成する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
符号チートは、$f'$ が正または負となる場所を追跡する。
区間を読み取る
- $f'>0$ が正の区間は増加区間、$f'<0$ の導関数が負の区間は減少区間である。
- 区間表記で記す：例として、$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ で増加。
- 関数の定義域を外側の境界とする。
- （臨界点を含めるかどうかは慣習の問題であり、APでは開区間を認めることが多い。）
$f(x)=x^3-3x$ （臨界点 $\pm1$ ）について、増加する区間を すべて 選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$f'>0$ は $[-1,1]$ の外側で増加し、内側で減少する。
なぜ有効か
- 隣り合う2つの臨界点の間で、$f'$ は常に同じ符号を保つ——零点や不連続点なしに符号が変わることはない。
- よって、1つの検定値で区間全体が決まる。
- この符号情報は、第一微分テスト（次のレッスン）の基礎となる。
- 増加・減少の挙動は、まさに変化率の関数（導関数）が記録していることである。
$x$-軸の下側（負の値）にある関数でも、増加することがある。
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増加は $f'>0$ に依存し、$f$ の符号には依存しない。
$f'$ が ____ なくして符号を変えることはできないため、1つのテスト点で全区間の判定がつく。
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符号の変化には、$f'$ の零点または未定義点が必要である。
$f'$ の符号を追跡し、$f$ の符号を追跡してはいけない。関数は負であっても増加することがある（例：$-5$ から $-1$ へ上昇）。「増加」とは出力が大きくなっていることを意味する（$f'>0$）、$f$ 自体が $x$-軸の上にあるか下にあるかに関わらず。
$f(x)=x^3-3x$ はどこで増加するか？
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$；臨界点 $x=-1,1$。
- $x=-2$ をテスト：$f'>0$。$x=0$ をテスト：$f'=-3<0$。$x=2$ をテスト：$f'>0$。
- $(-\infty,-1)$ と $(1,\infty)$ で増加、$(-1,1)$ で減少。
$f'$ の符号が単調性を決定する：$f'>0$ → 増加、$f'<0$ → 減少。実数直線を臨界点で分割し、各開区間に1つの検定点を持つ符号図を作成し、増加・減少区間を読み取る。$f'$ の符号を追跡し、$f$ の符号を追跡してはいけない。