| English | 意味 |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | 局所極値 |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | 極値 |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | 臨界点 |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | 極値の定理 |
山頂、谷、そしてそれらを探す場所
- 滑らかなグラフには高い点と低い点があります——それらを見つけるための道具が導関数です。
- まず用語を整理しましょう。局所（相対）極値とは、近傍の点と比較したときの山頂や谷のことです。
- 全域（絶対）極値とは、全体の区間における単一の最高値または最低値です。
- どちらの候補も、臨界点と呼ばれる特別な入力値です。
"局所（相対）最大値"とは、次と比較して最も高い点である：
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局所 = 周辺点との比較；全域 = 全区間全体での比較。
極値の定理
- 極値の定理（EVT）は条件の下で極値の存在を保証します。
- $f$が閉区間$[a,b]$上で連続であれば、$f$は$[a,b]$上で絶対最大値および絶対最小値をとります。
- 連続性と閉区間は必須条件です——どちらかを欠くと最大値または最小値が存在しない場合があります。
- EVTはそれらが存在することを伝えてくれますが、導関数はそれらを見つける手助けをしてくれます。
EVTは、$f$ が ____ 区間で連続の場合に最大値と最小値の存在を保証する。
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連続性と閉区間が必要である。
臨界点：極値が隠れている場所
- 臨界点とは、$x$の内部で$f'(x)=0$があるか$f'(x)$が存在しない点です。
- $f'=0$：水平な接線（滑らかな山頂または谷）。$f'$が定義されない：角や尖点。
- 局所極値は臨界点のみに発生します——区間の他のどこにもありません。
- そのため極値を探すには、まず$f'(x)=0$を解き、$f'$が定義されない場所をメモします。
傾きがゼロとなる点
y = ax³ + cx
局所的な山頂や谷底では接線は水平（$f'=0$）であり、これらの入力が臨界点である。
臨界点とは、内部の $x$ で...
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臨界点：$f'=0$ がゼロ、または $f'$ が未定義。
局所極値と全域極値——混同しない
- 局所最大値は直近の隣人よりも高い；全域最大値は$[a,b]$上のどこでも最も高いものです。
- 閉区間上の全域極値は、臨界点か端点のいずれかに位置します。
- すべての臨界点が極値であるわけではありません（上昇する曲線上の平坦な部分は水平な接線を持つことがあります）。
- 局所的な極値と全体的な極値は異なる問題であり、ある点が片方であっても他方を満たすとは限らない。
$f(x)=x^3-3x$ の すべての 臨界点を求めよ。
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$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ at $x=\pm1$。
$f'(x)=0$ が局所的最大値または局所的最小値となるすべての点。
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$y=x^3$ at $0$ は $f'=0$ を持つが極値ではない — 臨界点は候補に過ぎない。
閉区間において、絶対的な極値は必ず臨界点または...で生じる。
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臨界点 および 両端点をチェックせよ。
$f'(c)=0$ は $c$ における極値を保証しない。曲線 $y=x^3$ は $f'(0)=0$ を持つが、$x=0$ は最大値でも最小値でもない——単なる平坦な変曲点である。臨界点はあくまで候補に過ぎず、必ず検証する必要がある（Lesson 5.4, 5.7）。さらにEVTには連続性と閉区間の両方が必要である。
$f(x)=x^3-3x$ の臨界点を求めよ。
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- $f'(x)=0$ を設定: $x=1$ と $x=-1$ — どちらも水平な接線を与える。
- $f'$ は全域で定義される（多項式）ため、これら2つが唯一の臨界点となる。
極値定理（EVT）：関数が閉区間上で連続であれば、絶対最大値と絶対最小値を取る。それらおよびすべての局所極値は、臨界点（$f'=0$ または未定義）または区間の端点においてのみ生じる。臨界点は候補であり保証ではない——必ず検証せよ。