関連する変化率の反復可能な手順
- 関連する変化率の文章題は initially 難しそうに感じますが、固定された手順に従えば解決できます。
- いつも同じ5つのステップ：図を描く、方程式を立てる、微分する、値を代入する、解く。
- 人々が犯しがちな唯一のミス：微分した後にのみ数値を代入することです。
- この手順をマスターすれば、すべての関連する変化率の問題が定型作業になります。
5つのステップ
- 1. 描く・ラベル付け: 変化する量を描き、ラベル付けします；与えられていることと求めることをメモします。
- 2. 関係式を作る: 幾何学/公式を使って変数の間に方程式を立てます。
- 3. 微分する: 両辺を**$t$** について微分します（連鎖律 → 変化率の因子）。
- 4. 値を代入する: その瞬間の既知の値を代入します。
- 5. 解く: 未知の変化率を求め、単位と符号付きで答えます。
体積は大きくるときに最も速く増大する
y = a·x³ （V vs r）
$\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$ であるため、一定の半径変化率は、$r$ が大きくなるとともに体積変化率を飛躍的に高める。
関連変化率の手順を並べ替えよ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
図描き→関係式→微分→代入&計算。
最初に微分して、最後に値を代入
- 変化する数は、微分している間は必ず変数のままにしておきます。
- 微分の前に**$r=5$** を定数として扱ってしまうと、その変化率**$\tfrac{dr}{dt}$** は消滅してしまい、手法全体が機能しなくなります。
- 値の代入は、微分が完了した後のステップ4のみに行います。
- 早期に固定できるのは真の定数（例：はしごの固定された長さ）だけです。
$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$、$r=5$、および$\dfrac{dr}{dt}=2$ が与えられたとき、$\dfrac{dV}{dt}$ を $\pi$ の倍数として求めよ（$\pi$ の前にある数字を入力せよ）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
瞬間の数値を代入すべきはいつか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
まず微分し、その後で数値を代入否则、変化率項が消滅してしまう。
微分の前に $r=5$ を代入することは有効な Shortcut である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tfrac{dr}{dt}$ を消滅させてしまい、手法を破綻させる。
単位と妥当性の確認
- 答えは変化率ですので、出力/入力の単位を付けてください（例：$\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$）。
- 符号を確認します：増加する量 → 正；減少する量 → 負。
- その状況に対してサイズが妥当かどうか問いかけます。
- 「体積は毎秒...の割合で増加している」といった丁寧な結論文は、解釈点数を獲得するために役立ちます。
関連変化率の答えは変化率であるため、____ を伴って報告される必要がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
例：立方センチメートル每秒。
関連変化率の答えが $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$ で出た。これは体積が...ことを意味する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
負の変化率は、体積が秒あたり $30$ cm³ で縮小していることを意味する。
関連する変化率の最大ミスは：微分する前にその瞬間の値を代入することです。微分ステップでは変化する量をすべて記号的に保ち、その後に代入してください。早期に代入すると変化率の項が消えてしまい、誤った（多くの場合ゼロの）答えになってしまいます。
球状風船の半径が**$\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$** で増えています。$r=5$ cm のとき、体積はどれほど速く増えていますか？
- 関係式: $V=\tfrac43\pi r^3$。微分: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$。
- 今ここで $r=5$、$\tfrac{dr}{dt}=2$ を代入: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$。
- 体積は $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$ の割合で増加しています。
5つのステップで「関連する変化率」の問題を解きます：描く/ラベル付け、関係する方程式を書く、$t$ について微分する、微分した後にのみその瞬間の値を代入し、未知の変化率を求める。正しい単位と符号で報告し、結果が妥当か確認します。