| English | 意味 |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 変化の割合 |
| units/ˈjuːnɪts/ | 単位 |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | 増加する |
A derivative is a sentence, not just a number
- $f'(a)=12$ is more than a value — in context it says something about the real world.
- The skill of Unit 4: translate a derivative into a plain-English rate of change with the right units 单位.
- If $f$ is a tank's water volume in litres and $t$ is minutes, then $f'(3)=12$ means "at $3$ minutes, water is flowing in at $12$ litres per minute."
- Reading derivatives in words is tested constantly — practice the translation.
量とその変化率
y = ax² + bx + c
この曲線の縦軸は量$f(a)$、傾きは変化率$f'(a)$ — 同じ入力で異なる読み取りとなる。
Units come from the ratio
- A derivative is a ratio: output units per input unit.
- Volume (L) over time (min) → the derivative is in $\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$.
- Temperature ($^\circ$C) over time (min) → $\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}$.
- Always state the units; a rate without units is only half an answer.
$V(t)$は時間$t$分の水の体積（リットル）である。$V'(t)$の単位は...
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出力/入力：リットル毎分。
$C(x)$は$x$個の品物のコスト（ドル）であり、$C'(200)=45$である。これは...を意味する。
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導関数は$x=200$付近の限界（追加品物あたりの）コストである。
Value vs. rate: two different questions
- $f(a)$ answers "how much is there at input $a$?" — the amount.
- $f'(a)$ answers "how fast is it changing at input $a$?" — the rate.
- $f(3)=50$ L and $f'(3)=12\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ describe different things about the same instant.
- Exam prompts often ask you to interpret one and not confuse it with the other.
"人口は毎年$200$増加している"は...を説明している。
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変化率（年あたり）とは導関数である。
各文が何を説明しているかにマッチさせよ。
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量 → 値；変化率 → 第一導関数；変化率の変化 → 第二導関数。
The sign tells the direction
- $f'(a)>0$: the quantity is increasing 递增 at that instant.
- $f'(a)<0$: the quantity is decreasing at that instant.
- $f'(a)=0$: momentarily not changing (a level moment).
- The magnitude tells you how fast; the sign tells you which way.
$f'(a)<0$が負なら、入力が$a$のとき量は減少している。
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負の導関数は量が減少することを意味する。
$a$での正の導関数は、量がそこで____ことを意味する。
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正の変化率 → 増加中。
Don't confuse the function value with the derivative. "The population is $8000$" is $f(a)$; "the population is growing by $200$ per year" is $f'(a)$. A question asking for the rate wants $f'$, with units of (population)/(year) — not the population itself.
$C(x)$ is the cost (in dollars) to produce $x$ phones, and $C'(200)=45$.
- Units: dollars per phone, i.e. $\tfrac{\$}{\text{phone}}$.
- Meaning: when $200$ phones have been made, the cost is rising by about $\$45$ per additional phone.
- This "cost per extra unit" is exactly the economists' idea of marginal cost.
In context, $f'(a)$ is a rate of change with units of output per input — state it in a full sentence with units. It answers "how fast," distinct from $f(a)$'s "how much." A positive derivative means the quantity is increasing; negative means decreasing.