| English | 意味 |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 合成関数 |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | 連鎖の法則 |
| outer/ˈaʊtə/ | 外側 |
| inner/ˈɪnə/ | 内側 |
関数の中の関数
- $(3x+1)^{5}$ の導関数は何ですか？これはある関数のべき関数であり、合成関数です。
- 展開すると非常に煩雑になります。このために作られた規則があります：它就是 連鎖律（チェーンルール） です。
- 合成関数とは「内側の関数を外側の関数が包んでいるもの」で、例えば $f(g(x))$ のような形です。
- 連鎖律は層を一つずつ微分して、その結果を掛け合わせます。
法則
- $y=f(g(x))$ に対して：
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- 言葉で表すと：外側の関数の導関数（内側はそのまま）× 内側の関数の導関数 です。
- 小さな「$\cdot\, g'(x)$」が人々が忘れる部分ですが、これが全体のポイントです。
A composite curve
y = ax² + bx + c
A composite like $(3x+1)^2$ is steeper than its inner line alone — the chain rule multiplies the inner rate in.
The Chain Rule gives $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Outer derivative at the inner, times the inner derivative.
外側と内側を見極める
- 微分する前に、外側と内側の関数を名付けましょう。
- $(3x+1)^5$ において：外側は「(何か)$^5$」、内側は $3x+1$ です。
- 外側の微分: $5(3x+1)^4$。内側の微分: $3$。
- 掛け合わせる: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$。
For $y=(2x+1)^3$, find $y'$ at $x=0$. (Chain rule: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$y'=6(2x+1)^2$; at $0$: $6(1)=6$.
For $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, select all correct identifications.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The square root is the outer; $x^2+1$ is the inner with derivative $2x$.
他の法則との組み合わせ
- 連鎖律はすべての法則と積み重ねて使えます：べき関数、積、商、および基本微分。
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — 外側 $\sin$、内側 $x^2$。
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- 深く嵌套した関数の場合、層を一つずつ剥ぎ取りながら進め、その都度内側の導関数を掛け合わせます。
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$?
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Outer $\cos(x^2)$ times inner derivative $2x$.
The factor most often forgotten in the chain rule is the ____ derivative $g'(x)$.
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You must multiply by $g'(x)$ after differentiating the outer.
What is $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$?
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Outer $e^{3x}$ times inner derivative $3$.
常に内側の導関数 $g'(x)$ を掛け忘れないようにしてください。$\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ は $\cos(x^2)\cdot 2x$ であり、単なる $\cos(x^2)$ ではありません。「$\cdot\,g'(x)$」を省略することは微分学で最も一般的なミスであり、外側の導関数だけでは答えの半分しか得られません。
関数 $y=\sqrt{x^2+1}$ を微分してください。
- 書き換え：$y=(x^2+1)^{1/2}$。外側：$(\ )^{1/2}$；内側：$x^2+1$。
- 外側の微分: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$。内側の微分: $2x$。
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
連鎖律は合成関数を微分します：$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — 外側（内側は untouched）の導関数 × 内側の導関数。まず層を特定し、$\cdot\,g'(x)$ の因子を決して捨てないでください。嵌套式に対して他のすべての法則と組み合います。