| English | 意味 |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | 三角関数 |
他の4つの三角関数
- $\sin'=\cos$ と $\cos'=-\sin$ を知っている。他の4つの三角関数はすべてこれらの商である。
- よって商の法則がそれらの導関数を導き出す — 新しい魔法ではなく、ただ慎重な代数である。
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- 4つの結果を覚えるが、それらが*商の法則から来ていることを知っておく。
これらの4つの導関数はすべて次のものを用いて得られる：
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$\tan,\cot,\sec,\csc$ の各項は $\sin$ /$\cos$ の商である。
$\tan x$ の導出
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- 商の法則: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$。
- $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ なので: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$。
- よって $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ であり、同様に $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$。
tan を作る比となる正弦波
$\tan x=\sin x/\cos x$ ；その導関数 $\sec^2 x$ は常に正である—— tan は定義域内であればどこでも単調増加する。
$\dfrac{d}{dx}[\tan x]$ は何か？
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$\sin/\cos$ に対する商の法則から：$\sec^2 x$ 。
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それは $-\csc^2 x$ である。
正接・余切のペア
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- パターン: "co-" 関数（$\cos,\cot,\csc$）は導関数においてすべてマイナス記号を持つ。
- これら4つはすべて、$\tfrac1{\cos}$ または $\tfrac1{\sin}$ に対する商の法則の適用から導かれる。
$\dfrac{d}{dx}[\sec x]$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
$\cot x$ と $\csc x$ の導関数はどちらもマイナス記号を含む。
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$-\csc^2 x$ と $-\csc x\cot x$ —— 「co-」関数はマイナス記号を持つ。
他との併用
- これらの三角関数の導関数は、他のどの導関数と同様に、积と商の法則と組み合わされる。
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ （积の法則）。
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- 4つのboxed結果を用意しておき、コースの残りの部分で頻繁に登場する。
すべて正しい導関数を選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
最後のは誤りである：$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$ であり、$\sec^2 x$ ではない。
"co-" 関数のマイナス記号に注意する: $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ と $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ はどちらもマイナスを含み、$\cos'=-\sin$ に一致する。$\sec^2 x$（$\tan$ から）と $\csc^2 x$（$\cot$ から）を混同することは別の一般的なミスである — 各導関数をその出所とセットにして记忆する。
関数 $y=x^2\sec x$ を微分してください。
- 積の法則と $f=x^2$、$g=\sec x$: $f'=2x$、$g'=\sec x\tan x$。
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- 因数分解: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$。
追加された4つの三角関数の導関数はすべて商の法則から導かれます：$\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$、$\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$、$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$、$\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$。「co-」関数はマイナスが付きます。これらは積の法則や商の法則と自由に組み合わせて使えます。