| English | 意味 |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | 指数関数 |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | 対数関数 |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | 基本導関数 |
暗記すべき4つの導関数
- べき乗則は $x$ のべきまでが限界です。それ以降には 初等関数 が存在します。
- その中で4つは非常に頻繁に登場するため、その導関数を完璧に知っておく価値があります。
- 它们是 $\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ , and $\ln x$ .
- この4つを覚えれば、以前のルールと併用して、広範な表現を微分できるようになります。
三角関数のペア
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — マイナス 記号に注意してください。
- 便利なチェック： $\sin x$ の $0$ における傾きは $1$ （最も急な上昇）であり、 $\cos 0=1$ です。 ✓
- （これらは ラジアン での $x$ を必要とします — 簡潔な公式はそちらでのみ成立します。）
sin の傾きは cos である
$\sin x$ が最も急な点（$0$ において）ではその傾きは $1$ —— ちょうど $\cos 0$ に等しい。$\sin$ の導関数は $\cos$ である。
$\dfrac{d}{dx}[\sin x]$ は何か？
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$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ （符号に注意）。
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cos の導関数は $-\sin x$ である。
指数関数と対数関数
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — 指数関数 は自身の導関数です。その傾きは常に高さと等しくなります。
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — 対数関数 の導関数で、 $x>0$ に対して有効です。
- $e^x$ は微分によって全く変化しない唯一の関数です。
- $\ln x$ は単純な逆数 $\tfrac1x$ に変換される — 驚くほど整洁な結果である。
$e^x$ は自身の導関数自身である。
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$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ —— 関数の中で唯一である。
$\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ （ $x>0$ に対して）は何ですか？
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$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
結合則と組み合わせて
- これらの基本微分式は、和・差・定数倍の法則にそのまま当てはまる。
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- 各項に固有の法則を用いて微分し、それらを組み合わせるだけである。4つの事実以外に学ぶものはない。
関数 $3\sin x-2e^x$ を微分してください。
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$3\cos x$ と $e^x$ は $e^x$ を保ち続ける：$3\cos x-2e^x$ 。
すべて正しい初等関数の導関数を選択せよ。
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最後のは誤りである—— $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ であり、$x$ ではない。
符号と定義域に注意すること。$\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$（マイナスが最も一般的なミスである）。$e^x$ は自身の導関数であり、これにべきの法則を適用してはいけない。また、$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ が成り立つのは $x>0$ のみであり、これは $\ln$ の定義域である。
関数 $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$ を微分してください。
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
4つの基本微分式を暗記する：$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ 。これらは和・差・定数倍の法則と組み合わせて、混合した式の微分を行う。$\cos$ のマイナスに注意し、$x$ はラジアンで保ち、$e^x$ は自身の導関数であることを記憶しておく。