| English | 意味 |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多項式 |
多項式を分解するための4つのルール
- べき乗則は1項のみを扱います。整個 多項式 を微分するには、項を組み合わせる必要があります。
- 4つの簡単なルールを使えば、頭の中で項ごとに処理できます。
- これらは定数、和、差、および係数をカバーしています。
- べき乗則と併用すれば、一度で任意の多項式を微分できます。
定数、和、および差
- 定数則： 定数の導関数は $0$ です。水平な直線の傾きはゼロです： $\dfrac{d}{dx}[7]=0$ 。
- 和の規則： $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — 各部分を別々に微分して足し合わせます。
- 差の規則： $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — 同じように、引き算を行います。
- したがって、長い式を分割して、各項を個別に処理できます。
$\dfrac{d}{dx}[12]$ は何か？
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任意の定数の導関数は $0$ です。
和の法則により、$\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____ 。
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各成分をそれぞれ微分して加える。
定数倍
- 定数倍則： 係数はそのまま持ち運ばれます： $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$ 。
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- 先頭の数字は微分によって変化せず、 $x$ の部分だけが変化します。
- 和の規則と組み合わせると： $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$ 。
三次関数とその変化率（傾き）
y = ax³ + bx
多項式の導関数は別の多項式です。係数を動かして、傾きが正または負になる場所を確認してください。
$f(x)=5x^3$ が与えられたとき、$f'(2)$ を求めよ。
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$f'(x)=15x^2$ 、したがって $f'(2)=15\cdot4=60$ 。
$\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$ について、すべて正しい項の導関数を選択せよ。
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定数 $-8$ の導関数は $0$ であり、$-8$ ではない。
一度で多項式を微分する
- 多項式の項を順に読み取りながら、べき乗則と係数を適用していきます。
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- 定数 $-9$ が消え、 $7x$ が単なる $7$ になることに気づいてください。
- 練習を重ねれば、筆算なしで導関数を直接書けるようになります。
関数 $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$ を微分してください。
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項ごとに： $12x^3$ 、 $-4x$ 、 $+7$ 、そして定数 $\to 0$ 。
和の法則により、 $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ を $f'\cdot g'$ として計算できます。
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和/差の法則は $+$ と $-$ のみに適用され、積には積の法則が必要である。
ここには 「積の規則のショートカット」はありません ： $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ は $f'\cdot g'$ ではありません。和・差の規則は $+$ と $-$ の間にだけ適用されます。積と商は独自のルールが必要です（レッスンの2.8〜2.9）。また、定数の導関数は $0$ であり、定数そのものではありません。
関数 $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$ を微分してください。
- 変形： $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$ 。
- 項ごとに： $6\cdot3x^2$ 、 $4\cdot(-2)x^{-3}$ 、 $-1$ 、そして $0$ 。
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
4つの合成則：定数 $\to 0$；和/差では項ごとに微分します；定数倍では係数を外に出します（$\frac{d}{dx}[kf]=kf'$）。冪の法則を用いれば、これらで任意の多項式を一度に微分できますが、これらは $+$ と $-$ 間でのみ展開され、積に対しては展開されません。