| English | 意味 |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | 推定値 |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | 差商 |
Measuring a slope you can't compute exactly
- Sometimes you have a graph or a table, not a formula — but you still want $f'$ at a point.
- You can estimate the derivative from what you have.
- From a graph: measure the steepness of the tangent line by eye.
- From a table: use a difference quotient over the closest available inputs.
視覚的に傾きを推定せよ
y = x²
点を動かし、接線を見よ——その急峻さがグラフから推定される微分である。
From a graph: tangent steepness
- Draw (or imagine) the tangent line at the point, then read its slope as rise ÷ run.
- Pick two clear points on the tangent, not on the curve, and compute $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Steeper tangent → larger $|f'|$; a flat tangent → $f'\approx0$.
- Uphill tangent → positive derivative; downhill → negative.
グラフから$f'(a)$を推定するには、...の傾きを測定すべきである。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
微分は接線の傾きであり、接線上の点から読み取ることができる。
From a table: nearest difference quotient
- With table values, approximate $f'(a)$ by the difference quotient over the closest points:
- A symmetric estimate is best: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, using one point on each side.
- Or use a one-sided quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ if only one neighbor is available.
- Smaller $h$ (closer inputs) generally gives a better estimate 估计值.
ある表に$f(1.9)=4.2$と$f(2.1)=5.8$が与えられている。対称差分商を用いて$f'(2)$を推定せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
点に近い入力値を使用することは、一般的に表に基づく微分推定の精度を高める。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
より小さな区間は、接線の傾きをより良く近似する。
表やグラフから読み取った微分は、正確な値ではなく____である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
公式に対する代数的操作のみが、正確な微分を与える。
$f(3)=10$と$f(3.2)=11.4$から、片側差分商を用いて$f'(3)$を推定せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
Reading sign and size
- The sign of the estimate says which way $f$ is heading: $+$ rising, $-$ falling.
- The size says how fast: a derivative of $12$ means $f$ changes about $12$ units per unit of $x$ there.
- Always attach units and interpret in context (e.g. "the temperature is rising about $2^\circ$C per minute").
- An estimate is an approximation — say so, and use the closest data you have.
一点での推定された微分が負である場合、その点における関数は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
負の変化率は、その点で関数が減少することを意味する。
When estimating from a graph, read the slope of the tangent line, not of a nearby secant, and take your two points off the tangent, not off the curve. From a table, don't reuse the point $a$ itself as both inputs — you need two different inputs bracketing (or approaching) $a$.
A table gives $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$, $f(2.1)=5.9$. Estimate $f'(2)$.
- Symmetric difference quotient: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (A one-sided estimate $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ is close but less balanced.)
- So $f'(2)\approx8.5$ — $f$ is rising at about $8.5$ units per unit of $x$.
To estimate a derivative: from a graph, read the slope of the tangent line (rise ÷ run using points on the tangent); from a table, use a difference quotient over the closest inputs — the symmetric quotient $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ is most accurate. The sign gives direction, the size gives rate.