Defining Average and Instantaneous Rates of Change at a Point

「区間全体」から「一点」へ

• ユニット1では極限の概念を構築した。今こそそれを使って変化量を測定する。
• 区間全体における平均変化率は、総変化量 ÷ 区間の幅である。
• 単一時点における瞬間変化率は、速度計が示すものである。
• これらをつなぐのは極限であり、それがユニット2全体の目的である。

平均変化率＝接線の傾き

• $f$ の $x=a$ から $x=b$ までの平均変化率は差分商である：
• $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
• 幾何学的に見れば、これは $\big(a,f(a)\big)$ と $\big(b,f(b)\big)$ を結ぶ接線（secant line）の傾きである。
• これは平均である：$a$ と $b$ の間で起こったすべてを平滑化した値である。

区間を縮小する

• $x=a$ における変化率を得るには、$b$ を $a$ へと近づけ、接線の傾きの動きを見る。
• 区間が縮小するにつれ、接線は $a$ における**接線（tangent line）**へと回転していく。
• その極限の傾きが、$a$ における瞬間変化率である。
• 一点では実際には時間が経過しない — 極限によって「一点での変化率」という意味が生まれる。

*二点目が $a$ へと近づくにつれ、接線の傾きは接線（tangent）の傾きに収束する — それが瞬間変化率である。

文脈からの変化率の読み取り

• 符号は方向を示す：正の値 → 増加、負の値 → 減少。
• 大きさは速さを示す：絶対値が大きいほど変化が速い。
• 単位が重要である：秒あたりのメートルにおける位置であれば、変化率は $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — すなわち速度である。
• つまり、平均変化率＝区間全体における接線の傾き、瞬間変化率＝一点における接線の傾き。