| English | 意味 |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | 左極限 |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | 右の極限 |
| hole/həʊl/ | 穴 |
| jump/dʒʌmp/ | ジャンプ |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | 有界でない |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | 振動 |
グラフから極限を直接読み取る
- グラフが与えられれば、代数計算なしで極限を視覚的に確認できることが多い。
- $x=c$ の少し左側で指を曲线上に置き、$c$ に向かってなぞってgoing: 何の高さを目指しているか？
- 同様に右側から行う。両方の指が同じ高さを指しているなら、その高さが極限である。
- コツ：曲線がどこへ向かうかに注目し、$x=c$ における単一のプロットされた点を無視すること。
曲線を一点へとたどる
y = ax² + bx + c
左側と右側から入力へスライドします——極限は、孤立した点の声明にかかわらず、曲線が近づく共通の高さです。
グラフから $\lim_{x\to c} f(x)$ を読み取るには、以下を見てください...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
極限は両側から近づく共通の高さであり、$c$ の点は関係ありません。
左右別々に読み取る
- 左側のみなぞる → 左側極限 $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$ 。
- 右側のみなぞる → 右側極限 $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$ 。
- グラフ上で塗りつぶした点●は曲線上にあることを意味し、空心の点○（穴）は曲線上にないことを意味する。
- 極限は点が塗りつぶされているか空心かに関係なく、アプローチのみを重視する。
グラフが一定に上昇しており、$x=5$ の直左で曲線が高さ $2.9, 2.99, 2.999$ を通っている場合、$\lim_{x\to 5^-} f(x)$ を推定してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
左側の値が $3$ に収束するため、左極限は $3$ です。
極限が存在しない場合
- 極限が成立しない（DNE）代表的な3つのグラフ形状がある：
- ジャンプ：両側が異なる高さに向かう。
- 発散：曲線が垂直漸近線の近くで$\pm\infty$ へと爆発的に上昇する。
- 振動：曲線が$\sin\frac1x$ のように無限に速く揺れ回り、落ち着かない。
グラフの左側が $2$ へ、右側が $6$ へ向かう場合、極限は ____ によって存在しません。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
異なる片側の高さはジャンプ不連続を意味するため、両側極限は DNE です。
グラフから、$\lim_{x\to c} f(x)$ が存在しない理由となるすべての特徴を選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
発散、ジャンプ、振動はすべて極限を破綻させます。除去可能な穴は例外——両側は依然として一致しています。
$c$ の点はサビ（迷い）です
- 曲線が目指す高さ $\lim_{x\to c}f(x)$ は、プロットされた値 $f(c)$ とは別の問題である。
- 曲線が$4$ へスムーズに向かう一方で、孤立した点が$f(c)=1$ にあることがあっても、極限は依然として$4$ である。
- $f(c)$ は穴（未定義）であっても、極限は存在することがある。
- よって、常に2つの質問を別々に答えるべきである：曲線はどこへ向かうのか？ および 点はあるか、そしてどこにあるか？
グラフが $(2,4)$ に開いた穴を持ち、$(2,1)$ に塗りつぶされた点がある場合、$\lim_{x\to 2} f(x) = 4$ です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
曲線は両側から高さ $4$ に近づくため、極限は $4$ であり、塗りつぶされた点は単なる $f(2)=1$ に過ぎません。
高さ$7$において$x=3$を通る滑らかな曲線があり、それ以外の場所には穴や点はない。$f(3)$と$\lim_{x\to 3} f(x)$は何であるか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
穴やジャンプがないため、曲線はそこで連続しており、したがって極限は $= f(3) = 7$ です。
よくある罠: $f(c)$ (プロットされた点) を読み取って、問題が $\lim_{x\to c}f(x)$ (アプローチ) を求めているときである。これらは異なる。滑らかな曲線の上側にある黒丸が見えたら、極限は曲線の高さであり、点そのものではない。
グラフより：$x=2$ 付近で曲線が高さ$4$ の穴上升至し、$(2,\,1)$ に塗りつぶした点がプロットされている。
- 左側極限：$4$ へ向かう。右側極限：$4$ へ向かう。
- 両者が一致するため、$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$ 。
- しかし$f(2) = 1$ （塗りつぶした点）。此处极limit$\neq$ 函数值。
グラフから極限を読み取るには、$c$ へ両側から曲線をなぞって目指す高さを問う；$c$ のプロットされた点はサビカシである。両側が異なる高さ（ジャンプ）、曲線が発散する、または振動し続ける場合は極限は存在しない（DNE）。