| English | 意味 |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | 外側 |
| inner/ˈɪnə/ | 内側 |
移動した直線の周りの washer
- 最後のステップ：$x$ 軸や$y$ 軸ではない直線の周りに2曲線の領域を回転させること。
- 今学んだ2つのアイデアを組み合わせます：washer（隙間→リング）と移動した軸（半径の調整）。
- 公式は$V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ のままですが、$R$ と$r$ は新しい直線まで再測定されます。
- 両方の距離を正しく求めれば、微積分は単純な作業になります。
両方の半径を新しい軸まで測定する
- 水平な軸$y=k$ の場合：$R=|\text{far curve}-k|$ と$r=|\text{near curve}-k|$ 。
- 各半径は、それぞれの曲線からその移動した直線までの距離であり、$y=0$ からのものではありません。
- 外側半径は軸から遠い曲線まで達し、内側半径は近い方まで達します。
- その後、通常の通り$V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ を計算します。
シフトされた軸の上にある2つの曲線
y = ax² + bx
$y=-1$ 周りに回転すると、両方の半径が $1$ だけ増加 — 外半径 $\sqrt x+1$ 、内半径 $x+1$ ；依然として $R^2-r^2$ 。
$y=\sqrt x$ と $y=x$ の間の領域を $y=-1$ 周りに回転させる場合、外半径と内半径は...
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両方の半径を $+1$ だけシフトして $y=-1$ に合わせる。
シフトされた軸については、新しい直線への ____ 半径（外半径および内半径）を再測定する必要がある。
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片方だけでなく両方をシフトする。
どの曲線が現在遠いか注意する
- 軸を移動すると、外側と内側のどちらの曲線になるかが入れ替わることがあります——直線を動かした後は確認してください。
- 領域より下にある直線を軸として回転させる場合：下の曲線が内側（軸に近い方）になる。
- 領域より上にある直線を軸として回転させる場合：内外の役割が入れ替わる。
- 常に、実際の回転軸に対して外側・内側を判定すること。
軸をシフトした後、あなたは...
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軸の位置が外半径・内半径の役割を入れ替えることがある。
それでも：まず半径を二乗する
- 任何のワッシャー同様に、$R^2-r^2$ を引く前に（移動した）半径を二乗する。
- ⟨$(R-r)^2$⟩ を単に引き算してはならないし、単純な軸の半径を再利用してはならない。
- 軸から各曲線までの2つの距離区間を描いて、正しく設定する。
- その後、適切な変数に沿って積分する。
シフトされた軸であっても、ウェーハの被積分関数は $R^2-r^2$ であり、 $(R-r)^2$ ではない。
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必ず引き算の前に各半径を二乗する。
$R=\sqrt x+1$ 、 $r=x+1$ が $[0,1]$ 上にある場合の $y=-1$ 周りの体積は...
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$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
シフトされたウェーハ法は、哪2つの考えを組み合わせたものか？
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ワッシャー（ギャップ→リング）＋シフト半径。
ここでは2つの併発する罠がある：(1) 両方の半径を新しい軸へシフトする（片方だけではない）、および (2) 依然として $R^2-r^2$ を使い、$(R-r)^2$ を使わないこと。シフト後、どの曲線が外側か再確認する必要がある＝軸の位置によって役割が入れ替わることがある。平方する前に実際の直線への両方の半径セグメントを描図する。
$y=\sqrt x$ （上側）と$y=x$ （下側）で囲まれた領域を、$[0,1]$ において直線$y=-1$ の周りに回転させる。
- 両方の半径を$y=-1$ まで下に移動する：外側が$R=\sqrt x+1$ 、内側が$r=x+1$ 。
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
移動軸に関するワッシャー法：$V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ を用いるが、その直線に対する外側および内側の半径を両方再測定する（例：領域より下にある$y=k$ に対しては移動量を加える）。どの曲線が外側かを再確認し、常に各半径を引く前に二乗すること——$(R-r)^2$ は決して単に引いてはいけない。