| English | 意味 |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | リング（ Washers ） |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | リング法 |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | 内半径 |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | 外半径 |
穴のある円盤
- 2つの曲線間に隙間がある領域を回転させると、各断片は実心の円盤にはならず、リングになります。
- そのリング（円形に穴が開いた円盤）は** washer **と呼ばれます。
- その面積は大きな円の面积から小さな円の面积を引いたものです：$\pi R^2-\pi r^2$ 。
- washer を足し合わせるのが** washer 法**です。
ディスクではなくウェーハが現れるのは...
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隙間が穴を残す → ウェーハになる。
外側と内側の半径を引く
- 各 washer には、遠い曲線までの外側半径$R$ と、近い曲線までの内側半径$r$ があります。
- その面積は$\pi\big(R^2-r^2\big)$ なので、以下のようになります：
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- $x$ 軸の周りに回転する場合、$R$ と$r$ は2つの曲線から軸までの距離です。
2つの曲線がリングを作る
y = ax² + bx
$y=x$ と $y=\sqrt x$ の間に軸からの隙間があり — 回転させると外半径 $\sqrt x$ 、内半径 $x$ のウェーハ（ washer ）ができる。
ウェーハ法の体積は...
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大きな円から小さな円を引く： $\pi(R^2-r^2)$ 。
ウェーハにおいて、 $R$ は ____ 半径（遠い曲線へ向かう）であり、 $r$ は内半径である。
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遠い曲線への外半径、近い曲線への内半径。
$R$ と$r$ の特定
- $R$ （外側）は軸から遠い曲線から来ます；$r$ （内側）は近い曲線から来ます。
- $y=f(x)$ （上）と $y=g(x)$ （下）の間の領域を $x$ 軸周りに回転させる場合：$R=f(x)$ 、$r=g(x)$ 。
- 下側の曲線が軸まで達していないため、穴が存在します。
- 引く前に各半径を別々に平方してください。
$y=\sqrt x$ （上側）と $y=x$ （下側）の間の領域を $x$ -軸周りに回転させる場合、外半径は...
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軸から遠い曲線 $\sqrt x$ が外半径である。
まず平方してから引く
- 面積は$\pi(R^2-r^2)$ であり、$\pi(R-r)^2$ ではありません。引く前に各半径を平方してください。
- $(R-r)^2$ を使うと誤って交項が含まれてしまい、誤った体積になります。
- したがって、$R^2$ と$r^2$ をそれぞれ計算し、引き算を行い、その後積分して$\pi$ を掛けてください。
- これが washer 法における最も一般的なミスです。
ウェーハの被積分関数 $R^2-r^2$ は $(R-r)^2$ と同じである。
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まず各半径を二乗する； $(R-r)^2$ は誤りである。
$R=\sqrt x$ について、 $r=x$ における $[0,1]$ ： $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
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$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
washer の被積分関数は$R^2-r^2$ であり、$(R-r)^2$ ではありません。引く前に半径を平方してください。また、$R$ （外側、遠い曲線）と$r$ （内側、近い曲線）を区別してください。これらを逆転させるか、$(R-r)^2$ を使うことはどちらも誤った体積を与えます。 washer は領域と軸の間に隙間がある場合にのみ現れます。
$y=x$ （下端）と $y=\sqrt x$ （上端）の間の領域を $[0,1]$ について、$x$ -軸の周りに回転させる。
- 外側半径$R=\sqrt x$ 、内側半径$r=x$ （$[0,1]$ 上で、$\sqrt x\ge x$ において）。
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
washer 法は、隙間を持つ領域をリング状に回転させます：$V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$ 。ここで$R$ は外側半径（遠い曲線）、$r$ は内側半径（近い曲線）です。引く前に各半径を平方してください——$R^2-r^2$ 、決して$(R-r)^2$ を使わないでください。