Spinning around a shifted line
- What if you revolve a region not around an axis, but around a line like $y=-1$ or $x=3$?
- The disc method still works — you just measure the radius from the curve to that shifted axis.
- The formula $V=\pi\int R^2$ is unchanged; only $R$ needs adjusting.
- Getting the radius right is the whole game.
Radius = distance to the new axis
- Revolving about a horizontal line $y=k$: the radius is the vertical gap $R=|f(x)-k|$.
- Revolving about a vertical line $x=k$: the radius is the horizontal gap $R=|g(y)-k|$.
- Subtract the axis's value from the curve's value (in the right variable) to get the distance.
- Then square, multiply by $\pi$, and integrate as usual.
シフトされた軸の上にある曲線
y = a·√x
$y=-1$ 周りに回転すると、半径は曲線からその直線まで伸び — $R=f(x)+1$ となり、 $f(x)$ より大きい。
$y=f(x)$ を直線 $y=-1$ 周りに回転させる場合、半径は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$f(x)$ から $y=-1$ までの距離は $f(x)-(-1)=f(x)+1$ 。
$y=k$ （領域の下側）周りに回転する場合、曲線 $f(x)$ の半径は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
曲線の値から軸の値を引く： $f(x)-k$ 。
垂直な直線 $x=k$ 周りに回転する場合、半径は ____ 距離 $|g(y)-k|$ である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直軸の場合、水平方向に測る。
Axis below the region
- If the axis $y=k$ is below the region, the curve is above it, so $R=f(x)-k$ (a positive gap).
- Example: revolving about $y=-1$ a curve at height $f(x)$ gives radius $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- The "$+1$" is the extra distance down to the shifted axis.
- Always draw it: the radius reaches from the curve to the axis.
軸 $y=3$ が上側にある場合（曲線 $f(x)<3$ ）、半径は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
距離は軸から曲線へ： $3-f(x)$ （正の隙間）。
Don't reuse the plain-axis radius
- The most common error is forgetting to shift: using $R=f(x)$ when the axis is $y=-1$.
- That underestimates the radius by the shift amount, giving a wrong (too small) volume.
- Rewrite the radius as (curve value) $-$ (axis value) every time the axis isn't $y=0$ or $x=0$.
- Sketching the distance segment prevents this slip.
$y=-1$ 周りに回転する場合でも、半径 $R=f(x)$ を使用できる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
シフトする必要がある： $R=f(x)+1$ 。
$y=\sqrt x$ を $[0,4]$ 上で $y=-1$ 周りに回転させると半径 $\sqrt x+1$ となり、したがって $V=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
For a shifted axis, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $R=f(x)-k$ for $y=k$ — not just $f(x)$. Revolving about $y=-1$ makes the radius larger (add $1$); about $y=3$ above the region makes it $3-f(x)$. Always measure to the correct axis before squaring.
Revolve the region between $y=\sqrt x$ and the line $y=-1$ on $[0,4]$ about $y=-1$. (The region reaches down to the axis, so each slice sweeps a solid disc — no hole.)
- Radius reaches from the curve down to $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
The disc method about a shifted axis keeps $V=\pi\int R^2$, but the radius is the distance from the curve to that line: $R=f(x)-k$ for $y=k$, or $g(y)-k$ for $x=k$. Adjust $R$ for the shift (an axis below the region adds to the radius); never reuse the plain-axis radius.