| English | 意味 |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | 円盤 |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | ディスク法 |
領域を回転させて立体を作る
- 領域を取り、それを軸の周りに回転させると、回転体が描き出されます。
- 軸に垂直にスライスすると、各スライスは薄いディスク（コインのようなもの）になります。
- ディスクの体積を足し合わせます：ディスク法です。
- これは、円形のスライスを持つ断面の公式です。
ディスク法における各スライスは...
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回転させて円形のディスクを描き出す。
ディスクの公式
- 各ディスクは半径 $R$ 、厚さ $dx$ の円ですので、その体積は $\pi R^2\,dx$ です。
- $y=R(x)$ と軸の間の領域を $x$ 軸の周りに回転させる場合：
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- 半径 $R(x)$ は、曲線から回転軸までの距離です——ここでは単に $f(x)$ です。
ディスクに回転するプロファイル
y = a·√x
$y=\sqrt x$ を $x$ -軸周りに回転させると、半径 $\sqrt x$ のディスクが積み重なり — 体積 $\pi\int R^2\,dx$ 。
$y=R(x)$ を $x$ -軸周りに回転させたときの体積は...
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各ディスクは $\pi R^2\,dx$ である。
y軸周りの回転
- $y$ 軸の周りに回転する場合 instead？水平にスライスして、半径を $y$ で表します。
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- 今度 $R(y)$ は、曲線 $x=g(y)$ から $y$ 軸までの水平距離です。
- 同一の公式を使用し、$y$ で積分し、半径は横方向に測ります。
ディスク法において、半径 $R$ は曲線から回転軸までの ____ である。
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半径 ＝ 軸までの距離。
$y$ -軸周りに回転する場合、$y$ で積分する — ...を用いて
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変数を軸に合わせる：$y$ -軸 → $R(y)$ 、$y$ で積分する。
半径は距離です
- 重要なスキル：$R$ が曲線から軸までの距離であることを正しく特定することです。
- $x$ 軸の周りに回転する場合、曲線 $y=f(x)$ は半径 $R=f(x)$ （その高さ）を与えます。
- $y$ 軸周りに回転させるとき、曲線 $x=g(y)$ は半径 $R=g(y)$ を形成する。
- 半径を二乗し、$\pi$ を掛けて、軸に沿って積分します。
$y=\sqrt x$ を $[0,4]$ 上で $x$ -軸周りに回転させる（$R^2=x$ ）ことで $V=$ が得られる
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$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
ディスク法では $\pi$ という係数が含まれ、半径を二乗する。
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$V=\pi\int R^2$.
$\pi$ と二乗することを忘れないでください——ディスク法は $\pi\int R^2$ であり、$\int R$ ではありません。また、積分変数を軸に合わせてください：$x$ 軸の周りに回転 → $x$ で $R(x)$ を用いて積分；$y$ 軸の周りに回転 → $y$ で $R(y)$ を用いて積分。これらを混同することはよくあるミスです。
$y=\sqrt x$ に対する曲線下方の領域を $[0,4]$ について、$x$-軸の周りに回転させる。
- 半径が $R(x)=\sqrt x$ なので、$R^2=x$ となる。
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- 各ディスクは半径 $\sqrt x$ の円で、$x$ 軸に沿って積まれている。
圆盘法は、領域を軸の周りに回転させて円形の断面を作ります：$V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ $x$軸の周りに、または$\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ $y$軸の周りに。半径$R$は曲線から軸までの距離です。$\pi$や平方記号を忘れないでください。