同じ考え方、異なるスライスの形状
- 体積の計算式 $V=\int_a^b A(x)\,dx$ は、あらゆる断面の形状に適用できます——単に $A(x)$ が必要だけです。
- 正方形以外には、AP試験では三角形や半円形の断面がよく出題されます。
- 唯一新しいステップは、その形状に対応する適切な面積公式を、底辺を用いて書くことです。
- 幾何学から $A(x)$ を求め、以前と同じように積分します。
三角形断面
- 辺長が $s$ の正三角形の場合：面積は $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。
- 脚が $s$ の直角二等辺三角形の場合: 面積 $=\dfrac12 s^2$ ；一般の三角形の場合: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$ 。
- 正しい三角形の面積公式において、スライスが跨む隙間である底辺の長さ $s(x)$ を使用します。
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$ 、そして積分します。
スライスの変化する底辺
y = a·√x
同じ底辺の領域でも、スライスの形状によって異なる体積になる — 定数倍した $s(x)^2$ だけが変化する。
辺の長さ $s$ の正三角形の面積は...
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正三角形: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ 。
各断面の形状を面積定数（× $s^2$ ）に合わせる。
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各面積は、その定数を底辺の二乗に掛けたものである。
半円形断面
- 直径が $s$ の半円は半径 $\dfrac{s}{2}$ を持ちますので、その面積は $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$ です。
- スライスの底辺は直径ですので、二乗する前に半径を得るために半分にする必要があります。
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- この係数に注意してください：直径 $\to$ を半径にするための2で割る操作は、見落としやすいポイントです。
半円形の断面において、直径は底辺 $s(x)$ 上にある。その半径は...
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底辺が直径なので、半径はその半分。
直径が底辺 $s$ である半円の場合、平方する前に半径を得るために $s$ を半分にする必要がある。
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半径 $=s/2$ ；これを忘れるのは一般的な誤りである。
いつも「底辺による面積」です
- これらすべては $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$ です。
- 正方形 $\to 1$ ；正三角形 $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$ ；半円 $\to \tfrac{\pi}{8}$ ；直角二等辺三角形 $\to \tfrac12$ 。
- 領域から底辺 $s(x)$ を見つけ、形状の面積に代入して積分します。
- 微積分の部分は同じであり、先頭の定数だけが異なります。
$y=\sqrt x$ における $[0,4]$ の下の底辺、半円形スライス: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$ 。 then $V=$
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$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
すべての断面の体積は $\int_a^b A(x)\,dx$ であり、ここで $A(x)$ ＝ (形状定数) $\times s(x)$ ____ 。
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面積は底辺の二乗に比例して拡大される。
半円の場合、スライスの底辺は直径ですので、半径は $\frac{s}{2}$ —— 直径全体を半径のようにそのまま二乗しないでください。また、提示された種類（正三角形 vs. 直角二等辺三角形）に応じて三角形の公式を合わせる必要があります。これらは異なる定数を持ちます。底辺 $s(x)$ はまだスライスが跨む隙間です。
底面は$y=\sqrt x$の下の$[0,4]$における領域であり、断面は直径が底面に沿う半円である。
- 直径 $s(x)=\sqrt x$ なので、半径 $=\dfrac{\sqrt x}{2}$ 。
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
三角形または半円形の断面については、形状の面積を持つ $V=\int_a^b A(x)\,dx$ を使用します：正三角形 $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ 、直角二等辺三角形 $\frac12 s^2$ 、半円 $\frac{\pi}{8}s^2$ （底辺 $=$ が直径ですので、半径 $=\frac s2$ ）です。底辺 $s(x)$ を見つけて積分します。