| English | 意味 |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | 曲線間の面積 |
2つの曲線に挟まれた面積
- 単一の積分では、曲線と$x$ 軸の間の面積が得られます。2つの曲線の間の面積はどうすればよいでしょうか？
- 領域を薄い 垂直 スライスに分割します。各スライスの高さは曲線間の隙間です。
- 区間全体でそれらの高さを足し合わせ（積分する）— それが 2つの曲線間の面積 です。
- 手順は「上から下を引いて、積分する」です。
上から下を引く
- $f$ が上の曲線、$g$ が下の曲線で、$[a,b]$ における場合：
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- 各垂直スライスの高さは $f(x)-g(x)$ 、幅は $dx$ です。
- 常に 上から下を引き 、高さ（および面積）が正のままであるようにします。
放物線より上にある直線
y = ax² + bx + c
交点の間では直線が放物線の上にあるため、垂直方向の隙間を積分すると閉じた領域の面積となる。
上側曲線 $f$ と下側曲線 $g$ の間の領域（$[a,b]$ において）は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
上方 minus 下方、積分する。
交点から限界を見つける
- 境界 $a$ と $b$ は通常、曲線が 交差 する点です — $f(x)=g(x)$ を等置して解きます。
- それらの交点の $x$ 値が、囲まれた領域の左端と右端です。
- その間に、どの曲線が上にあるかを決めます（点をテストします）。
- それから、$[a,b]$ について上 minus 下の差分を積分します。
$y=x+2$ と $y=x^2$ はどこで交わるか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
交点間でどの曲線が上にあるかを決定するには、...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
テスト点を代入してどちらが高いか確認する。
積分の上限と下限は、2つの曲線を ____ ことによって得られる。
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$f(x)=g(x)$ について解き、交点の $x$ 値を求める。
軸の下にあっても成立します
- 「上 minus 下」をとるため、この公式は $x$ 軸以下の領域を自動的に扱えます。
- $-g(x)$ の項がすべて持ち上げるため、別個の「符号付き面積」の管理は不要です。
- 軸完全に下にある領域でも、上 minus 下で正の面積が得られます。
- これが隙間高さアプローチの利点です。
$y=x+2$ と $y=x^2$ の間の面積は $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$ である。計算せよ（小数）。
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この積分の結果は $\tfrac92=4.5$ となる。
下方 minus 上方を積分すると、真の面積の負の値になる。
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順序を逆にすると符号が反転する。
常に 上から下を引き てください — 逆に行うと真の面積の 負 になります。交点の間にある $x$ 値をテストして、どの曲線が上にあるか確認してください（これらが入れ替わることがあります。それは次のレッスンです）。そして、限界は $x$ 軸からではなく、曲線を等置すること から得られます。
$y=x+2$ と $y=x^2$ の間の面積を求めよ。
- 交点：$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$ 。
- $(-1,2)$ において直線が上側にある（$x=0$ をテスト：直線 $=2>0=$ ＞ 放物線）。
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
2つの曲線（$x$ の関数）の間の面積は、$A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$ です。垂直な帯状の領域に対して「上 minus 下」を積分します。曲線の交点 $a,b$ を見つけ、どちらが上にあるかを決定して、その差を積分します。上から下を引くことで、自動的に面積は正の値となります。