| English | 意味 |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初期条件 |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 |
唯一の真の曲線を特定する
- 一般解は定数$C$を持つ族である。現実には一本の曲線が必要である。
- 初期条件 — 既知の点$\big(x_0,y_0\big)$ — がその一意の要素を選別する。
- 方程式を一般的に解いた後、その点を使って$C$を求める。
- この結果は、その状況における特異解である。
初期条件によって選ばれた唯一の曲線は____解である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
一般族の一員。
完全な手順
- 1. 変数を分離して両辺を積分する（$+C$を含む）— 一般解。
- 2. 初期条件$\big(x_0,y_0\big)$を代入して$C$を求める。
- 3. その$C$を戻して整理する。
- 4. 求められたら、$y$について明示的に解く。
初期点によって一本の曲線が選ばれる
一般解は一族であり、初期条件$y(x_0)=y_0$はその点を通る唯一の曲線を選択する。
初期条件を適用して$C$を求める...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
まず一般解を得て、その後点を使って$C$を求める。
特異解のための手順を並べ替えよ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分離、積分、点の適用、整理。
worked 特異解
- $\dfrac{dy}{dx}=xy$ を$y(0)=3$ で解く。
- 一般解（前回のLessonより）：$y=A\,e^{x^2/2}$。
- 点适用：$3 = A\,e^{0}=A$，所以$A=3$。
- 特異解： $y=3\,e^{x^2/2}$。
$y=x^2+C$ が $y(1)=5$ を満たすとき、$C$ を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
特異解は$y=x^2+4$である。$y(3)$を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$3^2+4=13$.
$\dfrac{dy}{dx}=xy$ で $y(0)=3$ （一般解 $y=Ae^{x^2/2}$ ）の場合、特解は以下です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$y(0)=A=3$ 、したがって $y=3e^{x^2/2}$ 。
定義域に注意する
- $y$ を解く際、$\ln$、累乗根、または逆数を含むことがある——解が有効な領域に注意すること。
- 特異解は通常、$x_0$を含む区間上に存在するものであり、必ずしもすべての実数$x$全域ではない。
- 符号や絶対値については、与えられた点を用いて解決する必要がある（例：$y_0>0$が$+$の枝を選ぶ）。
- 代数的に制限される場合は、定義域を明記する。
初期条件を適用するのは積分後であり、その前に適用してはなりません。これにより $C$ を見つけます。また、点を用いて符号や分岐の曖昧さを解消してください：もし $\ln|y|=\dots$ で $y_0>0$ の場合、$y>0$ として絶対値を外します。分離変数法の注意書きと同じように、点をあまり早く代入すると一般解の族が失われます。
$\dfrac{dy}{dx}=2x$ を$y(1)=5$ で解く。
- 一般解：$y=x^2+C$ 。
- $y(1)=5$ を適用：$5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$ 。
- 特異解： $y=x^2+4$。
特異解とは、初期条件によって一般家族中的一个に固定されたものです。一般に解き（積分し、$+C$ を残す）、点 $\big(x_0,y_0\big)$ を代入して $C$ を求め、簡略化します。点を用いて符号や分岐を決め、有効な定義域も確認してください。