| English | 意味 |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | 解 |
この関数は実際に解ですか？
- 微分方程式を解く前に、提示された答えが正しいか確認できる必要があります。
- 微分方程式の解とは、方程式を真にする関数のことです。
- 検証は単純な機械的作業です：候補となる関数を微分して、方程式に代入します。
- 両辺が$x$に対してすべて一致すればそれは解ですが、一致しなければ解ではありません。
検証の手順
- 1. 候補となる関数を取り、その導関数を計算します。
- 2. 関数およびその導関数を微分方程式に代入します。
- 3. 両辺を整理して、$x$に関する恒等式として等しいかを確認します。
- 積分は不要です。検証とは単に微分して値を代入することです。
候補解を検証するには、…
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候補を微分し、代入して両辺が一致するか確認する。
具体的な検証例
- $y=e^{3x}$ は$\dfrac{dy}{dx}=3y$ の解ですか？
- 微分します：$\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$。
- 右辺に代入すると：$3y=3e^{3x}$ 。
- 左辺$=$ 右辺（$3e^{3x}=3e^{3x}$ ）なので、はい、$y=e^{3x}$ は解です。 ✓
dy/dx = ky の解
各指数関数 $y=Ce^{kx}$ は傾き場を貫通する — 一つの解を検証することは、その導関数が $ky$ と一致することを確認するだけである。
$y=e^{3x}$ は $\dfrac{dy}{dx}=3y$ の解である。
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$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
解を確認するには、一つだけでなく、$x$ の____な値において両辺が等しくなければならない。
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解は方程式を恒等的に満たす。
一般解と特異解
- $y=Ce^{3x}$ （任意の定数$C$ を含む）も$\dfrac{dy}{dx}=3y$ の解となり、この族全体が一般解です。
- 特定の$C$ を選ぶことで、特異解が得られます。
- どちらの場合でも検証方法は同じです：微分して方程式が成立するか確認します。
- 定数は微分の過程でそのまま残るため、検証の等式は依然として成り立ちます。
与えられた解を検証するには、微分方程式を積分する必要がある。
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検証は微分して代入することであり、積分は不要である。
どのような定数 $C$ において $y=Ce^{3x}$ が $\dfrac{dy}{dx}=3y$ の解となるか。
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$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ は $C$ に対してすべて — 一般解である。
$y=x^2+C$ は $\dfrac{dy}{dx}=2x$ の解か？
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$\frac{dy}{dx}=2x$ は $C$ に関わらず成立する。
検証することは解くこととは異なります。与えられた候補のみをチェックするものであり、積分は含まれません。関数およびその導関数を方程式に代入し、$x$ に対して両辺が常に同一であることを確認します（ある一点でのみ一致するだけでは不十分です）。単一の$x$ での一致だけでは不十分です。
$y=x^2+C$ が$\dfrac{dy}{dx}=2x$ の解であることを検証してください。
- 微分すると：$\dfrac{dy}{dx}=2x$ （$+C$ の項は消えます）。
- 微分方程式は$\dfrac{dy}{dx}=2x$ と示しています。
- 両辺とも$2x$ となるので、$y=x^2+C$ はすべての定数$C$ に対して解です。 ✓
微分方程式の解を検証するには、候補を微分して代入（導関数を含めて）し、$x$ に対して両辺が等しいかどうかを確認します。積分は不要です。検証とは「微分して確認する」ことです。定数$C$ を含む族は一般解です。