| English | 意味 |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 不定積分 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 積分定数 |
微分の逆演算
- FTC Part 2 には原関数が必要です—それではどのようにそれを見つけるかを学びましょう。
- $f$ の原関数とは、導関数が $f$ となる任意の関数のことです。すべての家族は不定積分と呼ばれます。
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ （境界なし）は「 $f$ の一般原関数」を意味します。
- 全ての微分法則を逆读了すると、原関数法則になります。
積分のべき乗則
- べき乗則を逆に行います：指数に1を加え、新しい指数で割ります。
-
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- 確認： $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ を微分すると $x^n$ が得られます。 ✓
- (ケース $n=-1$ は特別です： $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ 。)
$\displaystyle\int x^3\,dx$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
指数に1を加え、その値で割る：$\tfrac{x^4}{4}+C$。
べき乗則は $n=-1$ に対して成立しません。 $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$ はいくつですか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
$+C$ を忘れないでください
- 定数の導関数は $0$ であるため、任意の定数を加えることができる——したがって、不定積分は族となる。
- 常に不定積分に積分定数 $+C$ を追加してください。
- 境界がない場合、どの定数か特定する方法がないため、 $+C$ のまま残ります。
- (*examples integral において) $+C$ は相殺されます—これが違いです。
+Cによってシフトされた族
y = ax³ + d
$f$のすべての原関数は、垂直方向のシフト$+C$のみにより異なる—どこでも同じ傾きを持つ。
不定積分には積分定数$+C$を含めるべきである。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
原関数は一連の関数の家族です。 $+C$ は答えの一部です。
標準的な原関数
- 既知の初等微分を逆に行います：
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- 直線性と組み合わせて、多項式や和の各項ごとに積分できます。
$\displaystyle\int \sin x\,dx$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ （マイナスに注意）。
$\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$を求めよ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
項ごとに逆べき乗則を適用し、最後に $C$ を加えます。
すべての正しい原関数を選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ （正）；最後一个是错误的。
2つの基本：常に不定積分に $+C$ を加えること（答えの一部です）、およびべき乗則は $n=-1$ に対して失敗する— $\int x^{-1}\,dx$ は $\ln|x|+C$ であり、 $\frac{x^0}{0}$ ではありません。また、 $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ の符号にも注意してください（マイナスであり、 $\cos$ の導関数を鏡映しています）。
$\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$を求めよ。
- 項ごとに（逆べき乗則）： $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$ ； $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$ ； $\;5x$ 。
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- 微分して確認： $6x^2-4x+5$ 。 ✓
不定積分 $\int f\,dx$ は $f$ の一般原関数です。積分のべき乗則： $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ for $n\neq-1$ (and $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ )。常に積分定数 $+C$ を加え、和は項ごとに積分します。