| English | 意味 |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | 累加記号 |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定積分 |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 積分の限界 |
Writing "add up all the rectangles" compactly
- A Riemann sum with many rectangles needs tidy notation — enter the summation notation 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ means "add $f(x_i)\,\Delta x$ for $i=1$ to $n$."
- Each strip has width $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ and height $f(x_i)$ at a sample point.
- The $\Sigma$ just says "sum these rectangle areas."
$n$を$[a,b]$で等間隔に分割した場合、幅$\Delta x$は...
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区間の幅を帯の数で割ったもの。
記号 $\sum_{i=1}^{n}$ は次のことを示している...
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シグマは添え字範囲での総和を意味する。
Let the rectangles get infinitely thin
- The estimate improves as $n$ grows and $\Delta x$ shrinks. Take the limit $n\to\infty$.
- In that limit the rectangle sum becomes the exact area — no approximation left.
- That limiting value is the definite integral 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
定積分は正確な面積である。
y = x²
矩形が無限に薄くなるにつれ、その総和は正確な塗布領域（定積分）となる。
定積分$\int_a^b f\,dx$は、...としてのリーマン和の極限である。
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無数の極めて薄い矩形 → 正確な面積。
Reading the integral notation
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: the $\int$ is a stretched "S" for sum; $a$ and $b$ are the limits of integration 积分限.
- $f(x)$ is the integrand (what you're accumulating); $dx$ is the infinitely thin width.
- Read it "the integral of $f$ of $x$, from $a$ to $b$."
- It denotes the exact signed area between the curve and the $x$-axis over $[a,b]$.
$\int_a^b f(x)\,dx$において蓄積される関数$f(x)$を____と呼ぶ。
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$a,b$ は定数項（限界）であり、$f(x)$ は被積分関数である。
It's still signed area
- Just like the Riemann sum, the definite integral is signed.
- Where $f>0$ the integral adds area; where $f<0$ it subtracts.
- So $\int_a^b f\,dx$ can be positive, negative, or zero.
- $\Delta x$ carries the direction: going from $a$ to $b$ with $a<b$ makes the widths positive.
定積分$\int_a^b f\,dx$は単一の数値に評価される。
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これは関数ではなく、符号付き面積の数値である。
$f(x)<0$ が $[a,b]$ 全体にわたる場合、$\int_a^b f\,dx$ は...
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x軸下の面積は負の符号付き面積である。
The definite integral is a number (a signed area), not a function — don't confuse it with the indefinite integral (a family of antiderivatives, lesson 6.8). And $\int_a^b f\,dx$ is signed area: a curve dipping below the axis makes a negative contribution, so the integral is not the same as "total geometric area."
Express the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ as a definite integral.
- Width of each of $n$ strips: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Riemann sum: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Exact area: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (which equals $\tfrac83$).
A Riemann sum in summation notation is $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ with $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Its limit as $n\to\infty$ is the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ — the exact signed area, with $a,b$ the limits of integration and $f(x)$ the integrand.