| English | 意味 |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | 隠された関係式 |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 陰関数の微分 |
関数ではない曲線の分析
- 円、楕円、その他の 暗黙的関係 は垂直線テストに合格しない——それらは $y=f(x)$ ではない。
- しかし、 暗黙的微分 を通じて微分学のツールはまだ機能する。
- 接線の傾きを求め、水平および垂直の接点を特定し、さらに凹性さえも求めることができる。
- このImplementedededonは、Unit 3の暗黙的方法をUnit 5の分析問題に適用する。
水平の接線：分子がゼロ
- 暗微分から $\tfrac{dy}{dx}$ が分数として得られます。
- 水平接線は $\tfrac{dy}{dx}=0$ — 分子をゼロに設定（分母が $\neq0$ のとき）する地点で発生します。
- $x^2+y^2=25$ について: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ は $x=0$ のとき、つまり $(0,5)$ と $(0,-5)$ （上と下）の地点で成立します。
- これらは曲線の最高点と最低点です。
円上の接線
y = √(25 − x²) （上半分）
$x^2+y^2=25$ において、上下には水平な接線があり、左右には垂直な接線がある。
暗黙曲線上での水平な接線は、$\tfrac{dy}{dx}$ が… where occurs
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
水平 ⇔ 傾き $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dx}$ の分子がゼロである。
$x^2+y^2=25$ （$\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$ ）に対して、すべて 水平な接線を持つ点を選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tfrac{dy}{dx}=0$ when $x=0$ : 上下の点。
垂直接線：分母がゼロ
- 垂直接線は $\tfrac{dy}{dx}$ が定義されない地点で発生します — 分母をゼロに設定（分子が $\neq0$ のとき）。
- $x^2+y^2=25$ について: $-\tfrac{x}{y}$ は $y=0$ のとき定義されず、つまり $(5,0)$ と $(-5,0)$ （左と右）の地点で該当します。
- その地点で接線は垂直になり、曲線は上下に真っ直ぐに折れ曲がります。
- 分子がゼロ → 水平；分母がゼロ → 垂直。
垂直な接線は、$\tfrac{dy}{dx}$ の ____ がゼロ when occurs
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分母ゼロ ⇒ 傾きが未定義 ⇒ 垂直な接線。
$\tfrac{dy}{dx}$ の分母をゼロにすることで、…である接線を見つける
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分母ゼロ ⇒ 垂直な接線（分子ゼロ ⇒ 水平な接線）。
凹性：暗黙的な二階導関数
- 凹性を求めるには、$\tfrac{dy}{dx}$ をもう一度暗に微分して $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。
- 常に $y$ は $x$ に依存していることを思い出し、連鎖律が再び現れるので、既知の $\tfrac{dy}{dx}$ を代入します。
- $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ の符号は、それ以前と同じようにその地点での上に凸/下に凸を示します。
- 計算は複雑ですが考え方は同じです：$f''>0$ が正なら上に凸、$f''<0$ が負なら下に凸。
候補となる点は、元の方程式を満たさなければならない（曲線上にある）。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
その点が実際に曲線上にあることを確認し、単に傾きの条件だけではない。
暗黙曲線上での凹凸を見つけるために…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
暗黙的二階導関数 $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ は、その符号によって凹凸を与える。
水平接線を求めるには $\tfrac{dy}{dx}$ の分子をゼロにし、垂直接線を求めるには分母をゼロにしてください — 混同しないでください。また、その点が実際に曲線上にあるかを確認する必要があります：単なる微分の条件だけでなく、元の方程式を満たすかチェックしてください。
$x^2+y^2=25$ の水平および垂直接線を見つけなさい。
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- 水平 ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$ 。
- 垂直 ($\tfrac{dy}{dx}$ が未定義): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$ 。
暗の関係式を暗微分で解析します：$\tfrac{dy}{dx}=0$ （分子ゼロ）は水平接線を、$\tfrac{dy}{dx}$ が未定義（分母ゼロ）は垂直接線を示します。$\tfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めるためにさらに暗に微分し、その符号から凹性を読み取ります。常に点が曲線上にあるか確認してください。