設定から正解の数字へ
- 問題を単一の変数に減らした。now 最適化を解く。
- 計画：目的関数を微分し、臨界点を見つけ、それが最大値か最小値かを検証する。
- その後、実際の質問に答える——多くの場合、 寸法 や 最適な値 、単位を含む。
- これはこの単元の極値メカニズムを物語に適用したものである。
計算の手順
- 1. 単一変数の目的関数を微分し、臨界点を見つけるためにゼロに置く。
- 2. 第一 または 第二 導関数テストで最大値か最小値か確認する。
- 3. 定義域が閉区間または有界であれば、 端点 も確認する。
- 4. 質問されたことに答える——最適な変数を戻し代入する。
面積には単一の頂点がある
y = ax² + bx
面積の放物線は下向きで単一の頂点を持ち — 頂点における導関数はゼロであり、最大値である。
$A(x)=40x-2x^2$ に対して、$A'(x)=40-4x=0$ を解き、臨界 $x$ を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$40-4x=0\Rightarrow x=10$.
最適化の解法手順を並べ替える。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
微分、見つけ、確認、回答。
仮定せず、検証する
- 臨界点はただの 候補 であり、あなたが求める最大値（または最小値）であることを示さなければならない。
- 第二導関数テスト ： $A''(x)<0$ が臨界点で負なら、それは最大値である。
- あるいは、$A'$ の周辺の符号を確認するか、定義域の端点と比較する。
- 検証をスキップすることは点数を失う一般的なミスであり、APでは根拠の提示を要求する。
$A''(x)=-4<0$ であるため、臨界点は…である
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
凹向下 ⇒ 最大値。
臨界点が実際に最大値であることを示す理由が必要であり、単に仮定してはならない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
導関数のテストまたは端点の確認が求められる。
実際の質問に答える
- 最大の面積 を聞かれた場合は面積の値を報告し、 寸法 を聞かれた場合は長さの値を報告する。
- 単位 を含め、答えが物理的に妥当かどうかを確認する。
- 指示を再読する——「どのような寸法か？」と「最大の面積はいくつか？」は 異なる 最終的な答えを求める。
- 適切なラベルのない数字では点数が入らない。
$x=10$と$A(x)=40x-2x^2$を用いて最大面積を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$A(10)=400-200=200$.
問題が 寸法 を問う場合、…を報告すべきである。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
求められているものを報告する — この問題は面積ではなく寸法である。
二つの一般的なミス：(1) 質問が 最適化された量 （またはその逆）を求めているのに、 $x$-値 という臨界点の値を報告する——何を求められているか再読する。(2) 臨界点が本当に最大値か最小値かという 根拠 を省略する。必ず導関数テストや端点チェックで検証する。
面積 $A(x)=40x-2x^2$ を最大化する（柵の設定から）、$0<x<20$ 。
- $A'(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10$.
- $A''(x)=-4<0$ → 下に凸 → 最大値 ✓。
- then $y=40-2(10)=20$ , and $A=10\cdot20=200\ \text{m}^2$ . 寸法 $10\times20$ , 最大面積 $200\ \text{m}^2$ 。
最適化を解く には、単一変数の目的関数を微分し、臨界点のためにゼロに置き、導関数テストで最大値/最小値を 検証 し（定義域の 端点 も確認）、 単位 を付けて正確な質問に答える。誤った量を報告せず、常に根拠を示す。