| English | 意味 |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | 2階導関数判定法 |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | 不確定 |
1つの数値で極値を判定する
- 第一微分テストは符号の変化を確認するが、第二微分テストの方がしばしば速い。
- $f'(c)=0$ となる臨界点では、$f''(c)$ の符号を調べるだけで十分です。
- 平坦な地点で上に凸 → 谷；平坦な地点で下に凸 → 山頂。
- $f''$ の1回の評価で決着がつく——符号チャートは不要。
$f''(c) > 0$ ：最小値
- $f'(c)=0$ が かつ $f''(c)>0$ の場合、$f$ は $c$ で 局所最小値（相対最小値） をとります。
- 上に凸（カップ）で水平接線がある＝谷の底。
- 直感的に：傾きがゼロで増加するため、曲線は上方に折れ曲がる。
Cup at the min, cap at the max
y = ax³ + cx
At the local min the curve is concave up ($f''>0$); at the local max it is concave down ($f''<0$).
If $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$, then $c$ is a...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Concave up at a flat spot = minimum.
$f''(c) < 0$ ：最大値
- $f'(c)=0$ が かつ $f''(c)<0$ の場合、$f$ は $c$ で 局所最大値（相対最大値） をとります。
- 下に凸（キャップ）で水平接線がある＝山の頂上。
- 傾きがゼロで減少するため、曲線は下方に折れ曲がる。
If $f'(c)=0$ and $f''(c)<0$, then $c$ is a relative ____.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Concave down at a flat spot = maximum.
何も示さない場合
- $f''(c)=0$ の場合、テストは 判断不能 であり、結論を示しません。
- その点は最大値、最小値、あるいはそのどちらでもない可能性があります（例：$y=x^3$ が $0$ で、または $y=x^4$ が $0$ で）。
- その場合は、第一導関数テスト（$f'$の符号の変化）に依る。
- つまり：$f''$が簡単な場合は第二導関数テストを先に使い、$f''(c)=0$の場合は第一導関数テストに切り替える。
If $f''(c)=0$, the Second Derivative Test proves there is no extremum at $c$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
It is inconclusive — use the First Derivative Test instead.
For $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), classify $x=-1$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$f''(-1)=-6<0$ → relative maximum.
The Second Derivative Test is applied at a critical point where...
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It classifies critical points where the tangent is horizontal, $f'(c)=0$.
When should you fall back on the First Derivative Test?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The first test always works; the second is just often faster.
第二導関数テストには、接線が水平な極点の分類に使うための $f'(c)=0$ が 最初 に必要である。そして $f''(c)=0$ は「 neither（どちらでもない）」ではなく 「不決」 であり、その際は第一導関数テストを用いる必要がある。$f''(c)=0$ だからといって「極値なし」と結論してはいけない。
$f(x)=x^3-3x$ の極点を $f''$ を用いて分類せよ。
- $f'(x)=3x^2-3=0$ は $x=\pm1$ で $\;f''(x)=6x$ 。
- $x=1$ において：$f''(1)=6>0$ → 局所最小値。
- $x=-1$ において：$f''(-1)=-6<0$ → 相対最大値。
第二微分テスト: $f'(c)=0$ となる極点において、$f''(c)>0$ は相対最小値、$f''(c)<0$ は相対最大値を与える。$f''(c)=0$ の場合はテストが無効であり、第一微分テストに戻る必要がある。