| English | 意味 |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | ロピタルの法則 |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | 不定形 |
頑固な極限に対する導関数のトリック
- Unit 1 で $\tfrac00$ は「代数による簡略化」を意味しました。時折、代数では手がかりを得られません。
- ロピタルの法則は、導関数を使ってこれらの頑固な極限を解きます。
- これは不定形 $\tfrac00$ および $\tfrac{\infty}{\infty}$ に適用されます。
- 考え方は、関数の比をその導関数の比に置き換えることです。
まず形を確認する
- ロピタルの法則は本物の不定形、つまり $\dfrac00$ または $\dfrac{\infty}{\infty}$ のみに適用されます。
- まず代入して1つあるか確認してください。直接代入ですでに数値が得られる場合、計算は完了しており、この法則は適用されません。
- 不定形でない極限（例：$\tfrac{5}{2}$）にこれを適用すると、誤った答えになります。
- Therefore、常に法則を使う前に形式を確認してください。
L'Hospital's Rule applies to which indeterminate forms?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Only $\tfrac00$ and $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ is already determinate; $\tfrac30$ is an asymptote, not indeterminate.
Before applying the rule, confirm the limit is an ____ form by substituting.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Only $\tfrac00$ or $\tfrac\infty\infty$ qualify.
分子と分母を別々に微分する
- この法則：$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$（形式が不定形の場合）。
- 注意：これは商の法則ではありません。$f$と$g$を独立して微分します。マイナス記号も$g^2$もありません。
- その後、新しい、より簡単な極限を再評価します。
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — 有名な極限、一行で表されます。
A 0/0 ratio with a real limit
y = sin(x)/x (near 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ looks like $\tfrac00$ at $0$ but the curve heads smoothly to $1$ — L'Hospital finds that value fast.
L'Hospital's Rule uses the quotient rule $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ on the numerator and denominator.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
It differentiates $f$ and $g$ separately: $\tfrac{f'}{g'}$, not the quotient rule.
Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ using the rule.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
By L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\cos 0=1$.
まだ不定形なら繰り返す
- 新しい比$\tfrac{f'}{g'}$がまたもや$\tfrac00$または$\tfrac\infty\infty$である場合、法則を再度適用します。
- 確定した値が得られるまで、分子と分母を続けて微分し続けます。
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$（2回の適用）。
- 各サイクルは、もう一度適用する正当性があるためにまだ不定形である必要があります。
Applying the rule twice, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (a decimal)
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ は商の微分法ではありません。ロピタルの法則では、分子と分母を別々に微分します: $\frac{d}{dx}[f]$ を $\frac{d}{dx}[g]$ で割る — $\frac{f'g-fg'}{g^2}$ は不要です。また、$\tfrac00$ または $\tfrac{\infty}{\infty}$ の場合にのみ使用し、極限が既に決定されている状態で適用すると意味のない結果になります。
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$を評価します。
- 代入：$\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — 不定形なので、L'Hospital法則が適用できます。
- 分子と分母を微分：$\dfrac{e^x}{1}$。
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
L'Hospital法則：不定形形式$\tfrac00$、$\tfrac{\infty}{\infty}$、または$\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$に対して、分子と分母を別々に微分（商の法則ではない）して再評価します。まず形式を確認し、結果が不定形のうちに法則を繰り返します。