| English | 意味 |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | 接線⟦number⟧ |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | 局所線形性 |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | 線形近似 |
Zoom in far enough and a curve looks straight
- Pick any smooth curve, zoom in on one point, and it flattens into (almost) a straight line.
- That line is the tangent line 切线, and near the point it hugs the curve tightly.
- So the tangent is a great approximation to the function nearby — this is local linearity 局部线性性.
- It lets you estimate hard function values with just a slope and a point.
接線は曲線に沿う
y = √x
接点付近では直線と曲線がほぼ一致する——この近さが $L(x)$ が $f(x)$ を近似できる理由である。
滑らかな曲線が近くで見ると直線のように見えるという考え方は局所 ____ と呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
局所直線性は接線による近似の基礎となっている。
Build the tangent line
- The tangent at $x=a$ passes through $\big(a,f(a)\big)$ with slope $f'(a)$.
- Point-slope form gives the linearization 线性化:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- This $L(x)$ is just the tangent line, renamed as an approximation formula.
$f$ の $a$ における直線近似は $L(x)=$ である
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接線の点斜式：$f(a)+f'(a)(x-a)$。
Approximate a nearby value
- To estimate $f(x)$ for $x$ near $a$, compute $L(x)$ instead — it's usually easy arithmetic.
- Choose $a$ to be a nearby point where $f(a)$ and $f'(a)$ are simple (a "nice" number).
- The closer $x$ is to $a$, the better the approximation.
- Example: to estimate $\sqrt{4.1}$, use $f(x)=\sqrt x$ at $a=4$, where $f(4)=2$ is clean.
$L(x)=2+\tfrac14(x-4)$ を用いて $\sqrt{4.1}=L(4.1)$ を推定せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
Over- or underestimate? Ask concavity
- The tangent line lies on one side of a curved graph, so $L(x)$ leans one way.
- Concave up (curve bends upward, $f''>0$): the tangent is below the curve → $L$ is an underestimate.
- Concave down ($f''<0$): the tangent is above the curve → $L$ is an overestimate.
- Checking the sign of $f''$ tells you which way your approximation errs.
$f$ が $a$ 付近で下に凸であれば、接線による推定 $L(x)$ は...である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
下に凸 → 接線が曲線の上にある → 過大評価。
直線近似は接点から遠い入力ほど正確である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接点付近で最も正確であり、離れるにつれて精度は低下する。
正しい過大・過小の評価をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
上凸 → 接線が下にある → 過小；下凸 → 接線が上にある → 過大；どちらも $f''$ で決定される。
Linearization is only accurate near the point of tangency — far from $a$ the straight line drifts away from the curve. And the over/under call depends on concavity: concave up → tangent below → underestimate; concave down → overestimate. Don't guess the direction; check the sign of $f''$.
Estimate $\sqrt{4.1}$ using linearization at $a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, so $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, so $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- Since $\sqrt x$ is concave down ($f''<0$), this is a slight overestimate (true value $\approx2.0248$).
Local linearity lets the tangent line approximate a function near a point. The linearization is $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; use it to estimate $f(x)$ for $x$ near $a$. Concavity sets the direction of error: concave up → underestimate, concave down → overestimate.