| English | 意味 |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | 関連する変化の割合 |
| time/taɪm/ | 時間 |
一方の率が他方を駆動する場合
- バルーンを膨らませると、半径が増加し、それによって体積も増加します。
- これら2つの率は関連しており、半径の変化の速さがわかれば、体積の変化の速さもわかります。
- このような問題は関連率と呼ばれます。複数の量が同時に時間とともに変化します。
- これらを結びつける基礎となるのは、時間に対する連鎖律の適用です。
関連変化率の問題は、... に対して変化する量の間の関係性を結びつける。
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変数は時間の関数であり、連鎖の法則によって結びついている。
変数を関係付ける式から始める
- まず、これらの量を結びつける式を見つけます。通常は幾何学や公式を用います。
- バルーン：$V=\tfrac43\pi r^3$は体積と半径を結びつけます。
- 壁から滑り落ちるはしご：$x^2+y^2=L^2$（三平方の定理）が2つの距離を結びつけます。
- この関係式はあらゆる瞬間で成立するため、時間を基準に微分できます。
半径が増加すると体積も増加する
y = a·x³ （V vs r）
$V=\tfrac43\pi r^3$ が急峻に上昇する——$r$ が大きいとき、小さな半径の変化率が大きな体積の変化率となる。
最初のステップは、変化する変数を関係づける ____ を書くことである。
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通常、幾何学的または物理的な関係式である。
長さ $L$ のはしごが壁に寄りかかっている。底辺の距離 $x$ と高さ $y$ を関係づける方程式はどれか？
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ピタゴラスの定理：壁と床は直角をなすため、$x^2+y^2=L^2$ 。
時間について微分する
- 各変数は隠れた形での$t$に依存しているため、微分することで各々に rates が導かれ、これは連鎖律によって行われます。
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$から$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$を得ます。
- 各項は「$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$」という因数を加えます。暗黙微分と同じように、隠れた変数は$t$です。
- これで式は率$\tfrac{dV}{dt}$と$\tfrac{dr}{dt}$を結びつけました。
$V=\tfrac43\pi r^3$ を $t$ で微分すると $\dfrac{dV}{dt}=$ が得られる。
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時間に関する連鎖の法則：$4\pi r^2$ × $\tfrac{dr}{dt}$。
与えられた値と未知の値を整理する
- 問題を読み解き、ラベル付けします。どの率が与えられていて、どの単一の率が求められているかを確認します。
- 「半径は$2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$で増加している」→ $\tfrac{dr}{dt}=2$が与えられています。
- 「体積はどれほどの速さで増加しているか？」→ $\tfrac{dV}{dt}$が求める値です。
- また、質問された瞬間における半径など、固定されている値にも注意します。
$r^3$ を時間で微分すると $3r^2$ のみになる。
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これは $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ を与える——速度係数が必須である。
"半径は秒あたり $2$ cm で増大している。体積は秒あたりどれほど増大するか？" 正しいラベルをすべて選択せよ。
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半径の変化率は既知であり、体積の変化率が求められており、$V=\tfrac43\pi r^3$ がこれらを結びつけている。
関連率の変数は時間の関数であるため、$r^3$について微分すると$3r^2\tfrac{dr}{dt}$が得られます — ⟨$3r^2$⟩のように単に微分してはいけません。$\tfrac{dr}{dt}$（連鎖律の率の因数）を忘れるのが、この種の問題における決定的な誤りです。変化している各量は独自の$\tfrac{d(\ )}{dt}$を贡献します。
バルーンの体積は$V=\tfrac43\pi r^3$です。関連率の式を立てます。
- ⟨$t$⟩について微分：$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$。
- これは体積の成長率と半径の成長率を結びつけます。
- 与えられた$\tfrac{dr}{dt}$と現在の$r$があれば、$\tfrac{dV}{dt}$を解くことができます（次回の授業）。
「関連する変化率」の問題は、時間の中で変化する2つ以上の量の変化率を結びつけます。方程式を変数で表し（幾何学など）、$t$ について連鎖律を用いて微分します（各変数には**$\tfrac{d(\ )}{dt}$** が付きます）。そして、与えられた変化率と求めるべき変化率を特定します。