ツールボックスがある — now 道具を選びなさい
- 今や你已经拥有 power, constant-multiple, sum/difference, product, quotient, chain, and elementary derivative rules.
- 試験技能は、素早く適切な規則を選び、正しい順序で規則を組み合わせることです。
- 複雑に見える導関数は、その構造を見れば通常簡単です。
- このレッスンは、その構造を読むための意思決定ガイドです。
まず最も外側の構造を読む
- 質問：最上位レベルでは、これは和、積、商、それとも合成か？
- 和/差 → 項ごとに微分する。
- 積 → 積の法則；商 → 商の法則。
- 合成（関数の中に関数）→ 連鎖則、外側から内側へと剥ぎ取る。
構造を読み取り、適用すべきルールを選ぶ
y = a / (x − b)
曲線が積、商、または合成から来ているかによって適用される微分ルールが変わる — まず最上位のレベルを読む。
$y=x^2\sin x$の最上位レベルにはどのようなルールが必要か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x^2$と$\sin x$の積である → 積の微分法。
$\dfrac{\sin x}{x^2}$の最上位レベルの構造は...である
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\sin x$を$x^2$で割ったもの — 商（または$x^{-2}\sin x$として書き換える）。
各関数に対応する最上位レベルのルールにマッチさせよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
最も外側の演算を読む：項ごとの和、積、商、あるいは合成。
正しい順序で規則を組み合わせる
- 実際の関数は規則をネストさせる：合成を因子とする積、内部に連鎖を含む商など。
- 外側から内側へ進める：まず最上位の規則を適用し、その後各部分自体の規則で処理する。
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$ ：まず積の法則を適用し、$\sin(3x)$ 因子には連鎖則が必要 → $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$ 。
- 部分導関数をラベル付きの箱に留めておき、何も漏れないようにする。
まず$\dfrac{x^2+x}{x}$を簡略化してから微分する。導関数は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\frac{x^2+x}{x}=x+1$なので、導関数は$1$ — 商の微分法は不要。
合成関数の場合、適用ルールは____レベルから内側に向かって行う。
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まず最も外側の構造を処理し、次に各サブ部分を処理する。
賢く簡略化し、妥当性を確認する
- 着手前に、代数で簡単にできるか考える：小さな積を展開するか、分数を項に分けるか。
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$ なので、その導関数は単に$1$ である — 商の法則は不要。
- 微分後、妥当性を確認する：項数が適切か、符号が合理的か、単位が理にかなっているか。
- 最初によく選ぶことは、反射的に最も難しい規則を grind するより優れています。
微分後に解答が妥当か（項の数、符号など）を確認することは良い習慣である。
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簡単な検証で多くのミスが検出される。
規則を、最初に目にする記号ではなく最上位レベルの構造に一致させてください。$\dfrac{\sin x}{x^2}$ は商です（商の法則を使うか、$x^{-2}\sin x$ として积の法則に書き直す） — 単なる"$\sin$ の導関数"ではありません。構造を誤読すると、全く異なる規則への道に迷い入ります。
関数 $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$ を微分してください。
- 最上位レベルは商：$f=e^x$ ，$g=x^2+1$ 。
- $f'=e^x$ ，$g'=2x$ （$g'$ は単純な冪の法則の部分ステップです）。
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
手続を選択する方法：最上位レベルの構造 — 和、積、商、または合成 — を読み、まずその規則を適用し、その後各部分自体の規則で処理し、外側から内側へ進めます。代数で安価な場合は簡略化し、結果の妥当性を確認する。