| English | 意味 |
|---|---|
| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の法則 |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | 有理式 |
商の処理には注意が必要
- 积が积の法則を必要とするように、商も商の法則を必要とする。
- 分子と分母を別々に微分して割ることはできない — それは誤りである。
- この法則は2つの関数の有理式 $\dfrac{f}{g}$ を扱う。
- 分子には減算が含まれるため、順序と符号が非常に重要である。
法則
-
$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- 分子: 「分子の導関数×分母、－ 分子×分母の導関数」。
- 分母：元の分母を二乗したものである。
- 記憶のフック：「下×高の微分 − 高×下の微分、を下の二乗で割る」。
$\dfrac{f}{g}$ の商の法則による分子は...
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分子は $f'g-fg'$ で、分母は $g^2$ である。
商の法則において、答えの分母は $g$ ____ （何乗か？）
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分母は $g^2$ である。
商の法則に関する すべて正しい記述を選択せよ。
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$g^2\ge0$ は常に正なので、符号を反転することはない。
順序が全て
- 分子は $f'g - fg'$ であり、$fg' - f'g$ ではない — 入れ替えるとすべての符号が反転する。
- 常に $f'g$ 項を最初に書く — これで順序が確定し、符号のミスを防ぐ。
- 分母 $g^2$ は常に正であるため、答えの符号を変えない。
- 部品をラベル付けして保つ: 組み立てる前に $f,f',g,g'$ を確認する。
微分すべき有理曲線
y = a / (x − b)
$\dfrac{x^2}{x+1}$ のような商の傾きは商の法則で計算される—— 分母がゼロとなる垂直漸近線にも注意せよ。
分子を $fg' - f'g$ （逆順）として書くと同じ答えが得られる。
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順序を逆にすると分子全体が負になる—— 符号ミスである。
関数 $y=\dfrac{x}{x+1}$ を微分してください。
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$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
場合によっては积の方が簡単
- 商 $\dfrac{f}{g}$ は 积 $f\cdot g^{-1}$ として書き換えられ、积の法則＋べきの法則で解ける。
- 単純な分母の場合、これが速いことがある: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$。
- しかし、$\dfrac{\sin x}{x}$ のような本格的な2関数の商では、商の法則が清らかな道筋である。
- 複雑な代数を避ける方を選ぶ。
商 $\dfrac{x}{x^2}$ を最も速く微分する方法は...
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$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ —— ここでは商の法則より単純である。
商の法則の分子は $f'g - fg'$ です — 順序とマイナス記号がすべての難易度の要です。$fg' - f'g$（逆順）に書くと答えが負になってしまいます。また、分母を二乗するのを忘れないでください。時間制限のある試験では、これらのミスは非常に頻繁に起こります。
関数 $y=\dfrac{x^2}{x+1}$ を微分してください。
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
商の法則：$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — 「下×高の微分 − 高×下の微分、を下の二乗で割る」。分子の順序（$f'g$ が先）を維持し、分母を二乗してください。単純な場合、積 $f g^{-1}$ として書き換える方が楽なこともあります。