| English | 意味 |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | 微分可能性 |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | 連続 |
| corner/ˈkɔːnə/ | 角点 |
| cusp/kʌsp/ | 尖点 |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | 垂直接線 |
滑らか continuity implies connected — but not the reverse
- 関数が一点で導関数を持つ場合、そのグラフは単に途切れていないだけでなく、滑らかです。
- 一点での微分可能性は連続性という条件よりも強いものです。
- 重要な事実：微分可能 $\Rightarrow$ 連続。途切れた点では接線が存在しません。
- しかし逆は成り立ちません：連続したグラフでも、導関数を持たない鋭い角があることがあります。
滑らかで微分可能な曲線
y = ax² + bx
この放物線は everywhere 滑らかである——角のような傾きのジャンプがある点とは異なり、すべての点で接線が存在する。
なぜ微分可能性は連続性を強制するのか
- 導関数は割線の傾きの極限です。その極限が有限であるためには、関数がジャンプしてはいけません。
- $f$ が $c$ でジャンプしていたら、$c$ 付近の割線の傾きは発散し、有限の接線の傾きは得られません。
- $f'(c)$が存在することは、$f$が$c$で連続であることを保証する。
- 対偶（試験に有用）：$f$ が $c$ で連続でない場合、那里で微分不可能です。
Which implication is true? （※同様の理由で翻訳）真の含意はどれか？
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微分可能ならば continuous；逆は偽である。
$f$が$c$で連続でない場合、$f$の$c$における値は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
"微分可能 $\Rightarrow$ 連続"の対偶：「非連続 $\Rightarrow$ ⟹ 非微分可能」。
導関数が存在しない場所
- 連続だけでは不十分です。隙間がなくとも、3つの形状が微分可能性を破ります：
- 角（コーナー）： 左側と右側の傾きが異なる（例：$|x|$ の $0$ における値）。
- くびれ（カスプ）： 傾きが $+\infty$ と $-\infty$ へ発散する（例：$x^{2/3}$ の $0$ における値）。
- 垂直な接線： 接線が垂直であるため、その傾きは定義されない（例：$\sqrt[3]{x}$ の $0$ における値）。
関数が continuous であっても、微分が存在しない特徴はどこか？
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角、頂点、垂直な接線では導関数が存在しません；滑らかな曲がり点でも$f'=0$は存在します。
____な接線において、接線は垂直となるため、その傾き（導関数）は定義できません。
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垂直な直線は傾きが定義できません。例えば、$\sqrt[3]{x}$の$0$における値。
すべては接線に戻ってくる
- 有限の傾きを持つ一意に定義された接線が存在する場合にのみ、導関数は存在します。
- 角は2つの異なる接線を持ち、尖点/垂直な接線は無限の傾きを持ちます——どちらも単一の有限の値を与えません。
- $|x|$ はどこでも連続ですが、$0$ においては導関数を持ちません——これは古典的な反例です。
- まず、連続性を確認します（必要条件）。次に、単一の有限な接線傾きがあるかを確認します（それ以外の条件）。
$f(x)=|x|$は$0$で continuous だが、そこで微分可能ではない。
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角は左側の傾き$-1$、右側の傾き$+1$を持つ——単一の接線の傾きは存在しない。
$f(x)=|x|$について、右側の傾き（$x>0$の場合）は$0$でいくらですか？
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$x>0$について、$f(x)=x$であるため、傾きは$+1$です（左側の傾きは$-1$であり、したがって角が生じています）。
含意を逆転させないこと。微分可能 $\Rightarrow$ 連続は真だが、連続 $\Rightarrow$ 微分可能は偽である。$f(x)=|x|$ で証明される：$0$ において完全に連続だが、角があるため$f'(0)$ は存在しない（左の傾き$-1$、右の傾き$+1$）。
関数 $f(x)=|x|$ は点 $x=0$ で微分可能ですか？
- 点 $0$ で連続していますか？ はい — 途切れはありません。 ✓
- 左側の傾き： $x<0$ と $f(x)=-x$ の間では、傾きは $-1$ です。右側の傾き： $x>0$ と $f(x)=x$ の間では、傾きは $+1$ です。
- 片側の傾きが一致しない（$-1\neq1$ ）ため、これは 角（コーナー） です。
- $f'(0)$は存在しないが、その点は$f$が連続であるにもかかわらずだ。
微分可能性 $\Rightarrow$ 連続性 （接線には途切れないグラフが必要です）ですが、連続性が微分可能性を 示唆するものではありません 。角（傾きの不一致）、尖点、または垂直な接線（無限大の傾き）では導関数は存在せず、単一かつ有限な 接線 がないどこでも成立しません。