| English | 意味 |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | 区間 |
| domains/dəˈmeɪnz/ | 定義域 |
一点から区間全体へ
- 一点での連続性は良いですが、通常は区間全体で連続性を求めます。
- 関数が区間で連続であるとは、その内部のすべての点で連続であることを意味します。
- ペン为了不 lifting（持ち上げない）ことで区間全体を描けるのがこの理由です。
- 2つの微妙な点があります：端点をどう扱うか、およびどの既知の関数が自動的に連続であるかです。
Continuous across the whole view
y = ax³ + bx
A polynomial is continuous on every interval — no holes, jumps, or blow-ups anywhere you look.
開区間と閉区間
- 開区間$(a,b)$において：内部のすべての点で3条件の連続性を確認します。
- 閉区間$[a,b]$において：端点も扱わなければなりません。ここでは片側からのみ近づくことができます。
- 左端$a$では、右側連続性を要求します：$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$。
- 右端$b$では、左側連続性を要求します：$\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$。
At the left endpoint $a$ of a closed interval $[a,b]$, continuity requires...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
You can only approach the left endpoint from the right, so right-continuity is required.
For $f(x)=\sqrt x$ on $[0,9]$, the left-continuity check at the right endpoint needs $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. What is that value?
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$\sqrt 9 = 3$, which equals $f(9)$, so $f$ is left-continuous there.
「最初から連続」な関数
- これらの関数群は、自然な定義域上でどこでも連続です：
- 多項式 — 全ての実数$x$に対して連続。
- 有理関数、指数関数、対数関数、そして三角関数 — 定義される範囲で全て連続。
- つまり、有理関数は分母がゼロになる場所を除いて連続であり、$\ln x$は$x>0$に対して連続です。
Which function is continuous for all real $x$?
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Polynomials are continuous everywhere; the others have domain gaps.
Select all function families that are continuous on their entire natural domain.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
All four are continuous throughout their domains — the domain just excludes trouble points (e.g. rational at zeros of the denominator).
なぜ重要なのか：定理への鍵
- 閉区間での連続性は、今後の重要な定理への入場券です。
- 中間値の定理（1.16）と最大最小値の定理（Unit 5）はどちらも、$[a,b]$における連続性を必須とします。
- 連続性のチェックを省略すると、それらの定理は適用されません — これはよく出題される罠です。
- よって、区間全体での連続性を確認することは単なる作業ではなく、他の全てのものが成立するための仮説です。
$f(x)=\dfrac1x$ is continuous on the interval $[-1,1]$.
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$0\in[-1,1]$ and $f$ blows up there, so it is not continuous on that interval.
Continuity on a closed interval is a required hypothesis of the ____ Value Theorem.
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The IVT (and the Extreme Value Theorem) require continuity on $[a,b]$.
「定義域内で連続である」ことは「どこでも連続である」と同じではありません。$f(x)=\dfrac1x$は定義域（全ての$x\neq0$）上で連続ですが、$[-1,1]$上では連続ではありません。なぜなら、$0$がその区間に含まれており、$f$がそこで発散するためです。常に区間に問題がある箇所が含まれていないか確認してください。
$f(x)=\sqrt{x}$は$[0,4]$で連続ですか？
- 内部の$(0,4)$：$\sqrt x$は連続です（定義域上の標準関数）。✓
- 左端点$0$：$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — 右側連続。✓
- 右端点$4$：$\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — 左側連続。✓
- よって、$f$は閉区間$[0,4]$上で連続です。
$f$が区間で連続であるとは、内部のすべての点で連続であり、閉区間の端点では片側連続性を用いることを意味します。多項式、有理関数、指数関数、対数関数、三角関数はその定義域上で連続です。この区間連続性はIVTとEVTが依存する仮説です。