| English | 意味 |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | 連続 |
"ペンを持ち上げずに描く"
- 直感的に、関数が $c$ で連続であるとは、その点に欠けがないこと（穴なし、ジャンプなし、爆発なし）を意味します。
- しかし「欠けない」という感覚だけでは不十分です。目で見て判断するだけでなく、実際に確認できる厳密なテストが必要です。
- 微積分ではこれを点 $c$ に関する3つの条件に限定しています。
- これら3つ全てを満たせば、曲線は $\big(c, f(c)\big)$ をスムーズに通ります。
途切れのない曲線
y = ax² + bx + c
この多項式はすべての点において3つの連続性の条件を満たしています——定義されている、極限が存在する、そして両者が一致する。
3つの条件
- (1) $f(c)$ は定義されている — その点が実際に存在する（穴がない）。
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ は存在する — 両側の片側極限が一致する（ジャンプや爆発がない）。
- (3) それらは等しい ： $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — 曲線が点の位置に正確に着地する。
- 3つ全てが成立する必要があります。点 $c$ における連続性は、条件(1) + (2) + (3)そのものです。
$f$が$c$で連続するために必要な条件をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
3つの条件は「定義されている」「極限が存在する」「等しい」です。多項式である必要はありません。
第三の連続性の条件は、限界が函数の値 $f(c)$ と ____ であることを示しています。
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$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
どれか一つでも破れれば → 不連続
- (1) を満たさない：点が欠けている（極限は存在しても穴がある）。
- (2) を満たさない：両側が一致しない、あるいは関数が爆発する（ジャンプや無限の欠け）。
- (3) を満たさない：両者は存在するが、点が曲線から浮いている（除去可能な穴が別の場所にプロットされている）。
- 各欠陥は、前回の Peyou で紹介した不連続の種類に対応します。
もし$f(c)=1$と$\lim_{x\to c}f(x)=4$が与えられたなら、点$c$における関数は...
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どちらも存在しますが値が異なり、条件 3 が満たされないため、$f$ は不連続です（可除の穴）。
特定の点のチェック方法
- 代入する： $f(c)$ は実数か？（条件1。）
- 両側からの極限を取る：両側が同一の値 $L$ に一致するか？（条件2。）
- 比較する： $L=f(c)$ となるか？（条件3。）
- 「はい、はい、はい」のみが**$c$において連続**というラベルを得ます。
$f(c)$が定義されていること只知道れば、$f$が点$c$で連続であると結論づけられる。
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極限が存在し、かつ$f(c)$と等しいことも必要である。
$f(x)=x^2+1$について、$f$は$x=2$で連続ですか？
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3つの条件が全て満たされるため、$f$は点$2$で連続である（多項式は全域で連続である）。
$f$の$x=1$での連続性には$\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$が必要です。$\lim_{x\to1}f(x)=7$である場合、$f(1)$は何に等しくなければなりませんか？
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条件3により$f(1)=7$が強制される。
3つの条件すべてが必要です。$f(c)$が存在すること、または極限が存在することだけを確かめただけでは不十分です。関数は$f(c)=1$が正しくあり、かつ$\lim_{x\to c}f(x)=4$も正しくあるにもかかわらず、$1\neq4$（条件3が満たされない）のために連続ではないことがあります。
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$は$x=1$で連続ですか？
- (1) $f(1)=3$ — 定義されている。✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — 存在する。✓
- (3) $2 \neq 3$ — 等しくない。✗
- 条件(3)が満たされないので、$f$は$1$で連続ではない（$3$の高さに点がプロットされた、除去可能な穴）。
$f$が$c$で連続であるのは、3つのことが成り立つときに限ります：$f(c)$が定義されており、$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$が存在しており、その2つが等しいこと。どれか一つでも失敗すれば不連続になり、どの条件が失敗したかによって不連続の種類がわかります。