| English | 意味 |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | 同値 |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | 因数分解 |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | 共役 |
$\tfrac00$は閉ざされた扉 — 代数が鍵となる
- 直接代入で$\dfrac00$が得られました。諦めず、まず関数を書き換えてください。
- コツは、問題のある点以外では元の関数と一致する等価な式を見つけることです。
- 極限は単一Point$x=c$を無視するため、書き換えた関数も同じ極限を持ちます。
- ほぼ全ての作業を担う3つのツールがあります：因数分解、有理化、そして分数の統合です。
代数的変形により、除却された点を除くすべての点で一致する ____ な関数に置き換えます。
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穴以外の点が同じであれば、極限も同じです。
ツール1 — 因数分解して約分
- 有理関数に$\tfrac00$があるということは、$(x-c)$が両方の分子と分母を割り切っていることを意味します。
- 各々について因数分解を行い、共通の$(x-c)$を約分してから代入してください。
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- 約分後の形式は、極限が存在するすべての$x\neq 3$において元の関数と同一です。
穴を除いて曲線は滑らかです
y = x + 3 ((x−3)の約分より)
因数分解と約分後、グラフは単一の欠落点を持つ通常の曲線となり、その穴から極限を読み取れます。
$\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$を評価します。
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因数分解: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$ 。
ツール2 — 根の有理化
- 平方根が$\tfrac00$の原因となっている場合は、分子と分母に共役な式を掛けてください。
- これにより根が消え、約分可能な因子が露わになります。
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
極限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ は次で扱うのが最適です...
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$\tfrac00$ を引き起こす平方根には共役式が必要です；ここでは極限は $\tfrac16$ です。
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$を評価します。
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有理化して $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$ にします。
ツール3 — 分数の統合
- $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ over $x$のような分数の差は、通分を用いると因子が隠れていることがあります。
- 単一の分数にまとめ、整理すると、$(x-c)$が約分されます。
- これらのいずれかの操作の後、直接代入で残りの部分を計算すれば、現在は開かれた扉です。
- どのツールを使っても、代入を成功させる等価な関数を生成することになります。
$\tfrac00$ の極限を解決できるすべての代数的ツールを選択してください。
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最初の3つは正当な書き換えですが、四捨五入は有効な手法ではありません。
$(x-c)$を約分することは、ちょうど一点における関数の値を変えます：書き換えられた式は$c$で定義されていますが、元の関数にはそこに穴があります。これは極限（$x=c$を全く見ない）にとっては問題ありませんが、2つの関数が同一であると主張するのは避けてください — 削除された点で異なります。
$(x-3)$ を約分した後、簡略化された関数は $x=3$ を含む元の関数と同じ値をとります。
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それらは $x=3$ 以外で一致しますが、元の関数はそこに穴を持っています。極限は影響を受けませんが、関数は異なります。
$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$を求めよ。
- 代入で$\tfrac00$が得られました — 両方を因数分解してください。
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$は$x\neq -1$に対するものです。
- 代入：$\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$。
代入で$\tfrac00$が得られた場合、$c$を除く他の地点では一致する等価な形式に関数を書き換えてください：因数分解して約分するか、共役な式を用いて有理化するか、あるいは分数を統合します。その後、代入してください。書き換えられた関数は、除外された単一Pointを極限が無視するため、同じ極限を持ちます。