| English | 意味 |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | 推定値 |
| trend/trɛnd/ | 傾向 |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | 両側極限⟦number⟧ |
表を使って極限に迫る
- グラフも公式もない場合でも、出力の表を作って極限を推定できる。
- $c$ へ両側から近づく入力を選び、出力を見る。
- $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ に対して$x=2$ を代入すると$\tfrac00$ になるため、代わりに表を作成する。
- 出力は関数が目指す値を*明らかにする
両側から接近する
- $c$ に段階的に近い入力を選ぶ：左側は$1.9, 1.99, 1.999$ 、右側は$2.1, 2.01, 2.001$ 。
- 各点で関数を評価し、結果を並べる。
| $x$ | $1.9$ | $1.99$ | $1.999$ | $\to 2 \leftarrow$ | $2.001$ | $2.01$ | $2.1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3.9$ | $3.99$ | $3.999$ | ? | $4.001$ | $4.01$ | $4.1$ |
- 両列が$4$ へ収束するため、$\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ 。
See the curve behind the table
y = ax² + bx + c
A table is just sampled points on a curve — drag the coefficients and picture the outputs closing in on one height.
A table gives $f(2.9)=6.9$, $f(2.99)=6.99$, $f(3.01)=7.01$, $f(3.1)=7.1$. Estimate $\lim_{x\to 3} f(x)$.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Both sides close in on $7$, so the limit is $7$.
To estimate $\lim_{x\to 4} f(x)$ from a table, the best inputs to use are...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Inputs must close in on $4$ from both sides — and avoid $x=4$ itself.
両側は一緒にトレンドを示す必要がある
- 左側のトレンドと右側のトレンドを別々に読む。
- 両方が同じ数値を目指すなら、その共通の数が両側極限の推定値となる。
- 左列が一つの値へ、右列が別の値へ偏る場合は、極限は存在しない。
- 表はジャンプを明確にする：数値が中央で出会うのを拒む。
If a table's left column trends to $2$ and its right column trends to $5$, the two-sided limit does not ____.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Different one-sided trends mean the two-sided limit does not exist.
表は示唆するだけで、証明できない
- 表はトレンドを示すだけで、保証ではない。$c$ にさらに近い地点で関数が驚くようなことをする可能性がある。
- $\sin\frac1x$ のような一部の関数は粗い表を騙す：整った入力を選べばパターンは穏やかに見えるが、真の挙動は激しく振動する。
- よって数値的推定は代数学やグラフによって後日裏付けられる強力なヒントではあるが、それだけでは証明になり得ない。
- 必ず$c$に本当に近い入力を採用し、単に便利なものだけを選ぶことは避けてください。
A neat table of values proves exactly what a limit equals.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A table only suggests a value — it can be fooled by oscillation. Proof needs algebra or a theorem.
Select all good practices when estimating a limit from a table.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Close in from both sides and stay skeptical. Plugging in $x=c$ misses the point — the limit is about the approach.
A table for $\dfrac{\sin x}{x}$ near $x=0$ gives $0.998, 0.99998, 0.9999998, \dots$. The limit is...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The outputs close in on $1$, so the limit is $1$ — even though $f(0)$ is the indeterminate $\tfrac00$.
入力値が広すぎたり、誤解を招くパターンに当てはまったりすると、表は虚偽を示すことがあります。$f(x)=\sin\frac{\pi}{x}$ は $x=1,\tfrac12,\tfrac13,\dots$ で $0,0,0,\dots$ を読み取ります——$0$ が $x=0$ における限界であるかのように示唆しますが、実際には関数は振動しており、限界は存在しません。真に収束する入力を選び、常に懐疑的でありましょう。
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$（$x$はラジアン単位）の値を推定してください。
- $x=0.1 \Rightarrow 0.99833$; $\;x=0.01 \Rightarrow 0.99998$; $\;x=0.001 \Rightarrow 0.9999998$.
- 対称性により、負の側からも同様の値が得られます。
- 出力は$1$へと収束するため、$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$となります — また出会うことになる有名な極限です。
表から極限を推定するには、両側から$c$に近づく入力で関数を評価し、共通する傾向を読み取ります。傾向が一致すればその値が極限であり、相反すれば極限は存在しません（DNE）。表は極限の値を示唆するものであり、騙される可能性があるため、証明ではなく強力な証拠として扱ってください。