| English | 意味 |
|---|---|
| pitch/pɪtʃ/ | 音高 |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | 周波数 |
| Doppler effect/ˈdɒplə ɪˈfekt/ | ドップラー効果 |
| source/sɔːs/ | 波源 |
| wavefronts/ˈweɪvfrʌnts/ | 波面 |
| observer/ɒbˈzɜːvə/ | 観測者 |
The passing siren
- An ambulance races past and its siren suddenly drops in pitch 音调.
- The siren itself never changed — your ear heard a different frequency 频率.
- This is the Doppler effect 多普勒效应.
Why the pitch changes
- A source moving toward you bunches the wavefronts 波前 ahead → shorter $\lambda$ → higher pitch.
- Moving away, the wavefronts spread out → longer $\lambda$ → lower pitch.
ドップラー効果
音源を動かして波面が前方で詰まり（高いピッチ）、後方で伸びる様子を見よう——これが音源の速度によって制御されるサイレン効果である。
音源があなたに近づいてくる場合、あなたが聞くピッチは：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
あなたに近づくことで波面が詰まり、波長が短くなって、あなたが聞く周波数が上がる。
観測者に近づく音源は、その前方で波面を詰める。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
はい——新しい波面は少し手前にある点から送られるため、前方で密集する。
What does not change
- The source 波源 still emits $f_{\text{s}}$ waves every second — its frequency is fixed.
- The waves still travel through the air at the same speed $v$; the moving source cannot push them faster.
- Only the spacing of the wavefronts changes, so only the observed wavelength and frequency change.
音源が静止した聴衆に近づいている。何が変わらないか？すべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
媒質が速さを決め、放射源が放射するものを決める。運動で変わるのは音源の前方のWAVELENGTH（波長）であり、それに応じて聞く周波数が変わる。
Where the formula comes from
- In one period $T = \dfrac{1}{f_{\text{s}}}$ the source moves $v_{\text{s}}T$, so the wavelength ahead of it is squeezed to $\lambda' = \lambda - v_{\text{s}}T = \dfrac{v - v_{\text{s}}}{f_{\text{s}}}$.
- The observer 观察者 hears $f_{\text{o}} = \dfrac{v}{\lambda'}$.
- Behind the source the wavelength is stretched instead: $\lambda' = \dfrac{v + v_{\text{s}}}{f_{\text{s}}}$.
The formula
- For a moving source and a still observer: $f_{\text{o}} = \dfrac{v\,f_{\text{s}}}{v \pm v_{\text{s}}}$.
- Use minus when approaching (higher pitch), plus when receding (lower pitch).
A moving source squashes the wavefronts ahead of it, raising the observed frequency
$f_{\text{o}} = \dfrac{v\,f_{\text{s}}}{v \pm v_{\text{s}}}$において、観測者に近づく音源に対して用いるのは：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分母が小さいほど$f_{\text{o}}$が大きくなる——接近時に予想される高いピッチに対応する。
各状況と、静止した聴衆が聞く音とを対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
近づく→式でマイナス→高；遠ざかる→プラス→低；この切り替えが通過時に聞こえる周波数の低下である。
ドップラー効果の計算を手順通りに行え。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
最終ステップは符号誤りを自動的に検出する：音源が近づく場合、観測される周波数は必ず高くなるべきだからである。
Worked example: approaching
- A horn at $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ moves at $30\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ toward you; $v = 340\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Approaching → minus sign: $f_{\text{o}} = \dfrac{340 \times 800}{340 - 30}$.
- $f_{\text{o}} = \dfrac{272000}{310} \approx 877\ \text{Hz}$ — higher, as expected.
ホーン（$f_{\text{s}} = 400\ \text{Hz}$）が $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ の速さで $v = 340\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ に移動している。あなたが聞く周波数はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$f_{\text{o}} = \dfrac{340 \times 400}{340 - 20} = \dfrac{136000}{320} = 425\ \text{Hz}$.
あなたから遠ざかる音源は、発振周波数よりも____な周波数を放つ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
遠ざかることで波面が広がり、波長が長くなり周波数が下がる。
800 Hzを発するサイレンが 30 m/s で接近してくる。音が聞こえる周波数は何Hzか？（音速 340 m/s）
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f = 800 × 340 / (340 - 30) = 877 Hz。近づく場合は分母がマイナスであり、答えは800 Hz以上になるはずである。低い数字が出たのは符号誤りである。
Worked example: a source going round in a circle
A siren on a car driving round a circular track is heard by someone standing outside the track. The frequency they hear varies between a maximum of $1000\ \text{Hz}$ and a minimum of $818\ \text{Hz}$. Take $v = 340\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Find the speed of the car and the siren's own frequency.
- Maximum is heard when the car moves straight toward the listener: $1000 = \dfrac{340\,f_{\text{s}}}{340 - v_{\text{s}}}$.
- Minimum when it moves straight away: $818 = \dfrac{340\,f_{\text{s}}}{340 + v_{\text{s}}}$.
- Divide the two equations so $f_{\text{s}}$ cancels: $\dfrac{1000}{818} = \dfrac{340 + v_{\text{s}}}{340 - v_{\text{s}}}$, giving $v_{\text{s}} = 34\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Source frequency: $f_{\text{s}} = \dfrac{1000 \times (340 - 34)}{340} = 900\ \text{Hz}$.
- Check: the true frequency lies between the two heard values, and the car's speed is about a tenth of the speed of sound — sensible for a racing car.
周波数$900\ \text{Hz}$のサイレンが$34\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ の速さであなたの真後ろへ直進して離れる。音速は$340\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$である。あなたが聞く周波数はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
遠ざかる→プラス記号：$f_{\text{o}} = \dfrac{340 \times 900}{340 + 34} = \dfrac{306000}{374} = 818\ \text{Hz}$。
Three traps. The $v$ on top is the speed of the wave ($340\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ for sound), never the speed of the source. The $\pm$ sign belongs to the source speed. And while a source drives straight at you at constant speed, the pitch you hear is constant — it does not climb as the car gets nearer; it changes only as the car passes and its direction relative to you changes. Louder is not higher.
サイレンを鳴らした警察車両が一定の速さであなたに向かってまっすぐ走行している。近づいてくるにつれて聞こえるピッチは着実に上昇する。
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一定の速さで正面から接近している間、観測される周波数は一定である——距離ではなく速度に依存する。音は大きくはなるが、高いわけではない。ピッチが下がるのは車が通過した時だけである。
You've got it
- a moving source changes the frequency you hear — the Doppler effect; the source frequency and wave speed do not change
- toward → bunched wavefronts → higher; away → spread out → lower
- $f_{\text{o}} = \dfrac{v\,f_{\text{s}}}{v \pm v_{\text{s}}}$ (minus for approaching); divide the max and min equations to find $v_{\text{s}}$